Resposta:
f(x) = 16x² - 144x + 320
Explicação passo a passo:
Função quadrática é sempre do tipo f(x) = ax² + bx + c, sendo a[tex]\neq[/tex]0. Como a concavidade está para cima, a>0. Pelas Relações de Girard, f(x) = a(x-r1)(x-r2), sendo r1 e r2 as raízes da função quadrática. Assim,
f(x) = a(x-r1)(x-r2);
f(x) = a(x-4)(x-5);
f(x) = (ax-4a)(x-5);
f(x) = ax² - 5ax - 4ax + 20a;
f(x) = ax² - 9ax + 20a.
Além disso, sabe-se que o vértice dessa parábola, v, é (-b/2a; -Δ/4a). Por isso,
-b / 2a = 9a / 2a = 9/2;
Δ = b² - 4ac = 81a² - 80a² = a²;
-Δ/4a = -a² / 4a = -a/4;
v = (9/2; -a/4).
Nesse sentido, a distância, d, entre o eixo x (-b/2a;0) e o ponto v (9/2; -a/4) é:
[tex]d = \sqrt{(9/2-9/2)^2 + (-a/4-0)^2} = 4[/tex]
[tex]d = \sqrt{a^2/16} = 4\\a^2/16 = 4^2\\a^2 = 16^2\\[/tex]
a = 16, pois a>0.
Portanto, a lei de formação de f é:
f(x) = ax² - 9ax + 20a;
f(x) = 16x² - 9(16)x + 20(16);
f(x) = 16x² - 144x + 320.
