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Explicação passo-a-passo:
Geometria analítica
Nos é dado um triângulo construído pelos vértices m,n e p . onde m(1,4) , n(1,10) e p(4,4).
Jogando esses pontos no plano cartesiano nota-se que a altura do triângulo é o segmento MN a a base é o segmento MP . daí que:
[tex]\sf{ A~=~\dfrac{MN*MP}{2} } \\[/tex]
Então vamos determinar os comprimentos MN e MP .usando a distância entre dois pontos:
[tex]\sf{MN~=~\sqrt{ (1-1)^2+(4-10)^2 } } \\[/tex]
[tex]\iff \sf{ MN~=~ \sqrt{(-6)^2}~=~\sqrt{6^2} } \\[/tex]
[tex]\iff \boxed{\boxed{\sf{ MN~=~ 6 } } } \\[/tex]
Agora vamos determinar o segmento MP :
[tex]\sf{ MP~=~\sqrt{ (1-4)^2+(4-4)^2 } } \\[/tex]
[tex]\iff \sf{ MP~=~ \sf{(-3)^2}~=~\sqrt{3^2} } \\[/tex]
[tex]\iff \boxed{ \boxed{\sf{ MP ~=~ 3 } } } \\[/tex]
Então a nossa área será :
[tex]\iff \sf{ A~=~\dfrac{ 6*3 }{2}~=~3*3 } \\[/tex]
[tex]\red{ \iff \boxed{\boxed{\sf{ A~=~9u.a } } } } \\[/tex]
O Perímetro do mesmo triângulo será :
MN + MP + PN
aquí só nos falta conhecer o segmento PN :
[tex]\sf{ PN~=~ \sqrt{ (4-1)^2+(4-10)^2}} \\[/tex]
[tex]\iff \sf{ PN ~=~\sqrt{ 3^2+(-6)^2}~=~\sqrt{9+36} } \\[/tex]
[tex]\iff \sf{ PN~=~\sqrt{9(1+4)} } \\[/tex]
[tex]\iff \boxed{\sf{ PN~=~3\sqrt{5} } } \\[/tex]
Daí que o perímetro será :
[tex]\iff \sf{ P~=~6+3+3\sqrt{5} } \\[/tex]
[tex]\green{ \iff \boxed{\boxed{\sf{ P~=~9+3\sqrt{5} } } } } \\[/tex]
Espero ter ajudado bastante!)
UEM(Moçambique)-DMI