Com o estudo sobre continuidade temos como resposta [tex]f(x)=\begin{cases}1\:\:se\:\in Q\:\cap \:\left[0,1\right]\:\\ 0\:se\:\notin Q\:\cap \left[0,1\right]\:\\ \end{cases}[/tex]
Continuidade
Uma função f: X → IR, definida em um conjunto X ⊂ IR, diz-se contínua no ponto a ∈ X quando, [tex]\epsilon[/tex] > 0 dada arbitrariamente, pode-se obter [tex]\delta > 0[/tex] tal que x ∈ X e |x - a| < [tex]\delta[/tex] implique |f(x) - f(a)| < [tex]\epsilon[/tex].
Seja f uma função definida no intervalo [0, 1]
- [tex]f(x)=\begin{cases}1\:\:se\:\in Q\:\cap \:\left[0,1\right]\:\\ 0\:se\:\notin Q\:\cap \left[0,1\right]\:\\ \end{cases}[/tex]
Temos que f não é integrável segundo Riemann em [0, 1], pois para uma partição qualquer de [0, 1] temos
- [tex]\sum _{i=1}^n\left(f\left(c_i\right)\right)\Delta x_i=\begin{cases}\sum \:_{i=1}^n\Delta \:x_i=1\:se\:c_i\:\in \:Q\:\cap \left[0,1\right]\:\\ \:0\:se\:c_i\notin \:Q\:\cap \:\left[0,1\right]\:\\ \:\end{cases}[/tex]
e nesse caso teríamos [tex]lim_{max\Delta x_i- > 0}\sum _{i=1}^n\left(f\left(c_i\right)\Delta x_i\right)=0[/tex], o que confirma que a função não é integrável em [0,1]
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#SPJ1
