Olá, Alane, boa noite.
[tex]\begin{cases} 2x+3y=9\\x-4y=k \end{cases}[/tex]
Sabemos que o par [tex](x,y)=(3,k^2)[/tex] é solução do sistema acima.
Substituindo a solução na primeira equação temos:
[tex]2x+3y=9 \Rightarrow 2 \cdot 3 + 3k^2 = 9 \Rightarrow 3k^2=3 \Rightarrow k^2=1 \Rightarrow[/tex]
[tex]k = 1 \text{ ou } k = -1[/tex]
Substituindo a solução [tex](x,y)=(3,k^2)[/tex] na segunda equação temos:
[tex]x-4y=k \Rightarrow 3-4k^2=k \Rightarrow -4k^2-k+3=0 \Rightarrow 4k^2+k-3=0[/tex]
Já obtivemos dois valores possíveis para [tex]k[/tex] , que são 1 e -1. Vamos testá-los nesta última equação obtida para sabermos qual deles satisfaz o sistema.
Substituindo [tex]k=1[/tex] na última equação obtemos:
[tex]4k^2+k-3=0 \Rightarrow 4 \cdot 1^2 + 1 -3=5-3=2 \neq0 \text{ (imposs\'ivel)}[/tex]
Substituindo [tex]k=-1[/tex] nesta mesma equação obtemos:
[tex]4k^2+k-3=0 \Rightarrow 4 \cdot (-1)^2 -1 -3=4-4=0 \text{ (ok!)}[/tex]
Portanto, o valor de [tex]k[/tex] que possibilita que [tex](3,k^2)[/tex] seja solução do sistema é [tex]k=-1[/tex]
