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Resposta:
Letra (e), (-1, 4).
Explicação:
O gradiente de uma função escalar é definido como:
[tex]\nabla f(x,y) = \hat{\imath} \frac{\partial f}{\partial x} + \hat{\jmath} \frac{\partial f}{\partial y}[/tex]
Calculando as derivadas parciais, temos:
[tex]\frac{\partial f}{\partial x} = -\mathrm{sen}(x)\\\frac{\partial f}{\partial y} = 2y[/tex]
Assim, o gradiente fica:
[tex]\nabla f(x,y) = -\mathrm{sen}(x)\hat{\imath} + 2y\hat{\jmath}[/tex]
Substituindo o ponto dado, ou seja, [tex](x_0, y_0) = (\pi/2, 2)[/tex],
[tex]\nabla f(\pi/2, 2) = -\mathrm{sen}(\pi/2)\hat{\imath} + 2^2\hat{\jmath}\\\nabla f(\pi/2, 2) = -1\hat{\imath} + 4\hat{\jmath}[/tex],
que é a resposta, ou seja,
[tex](-1,4)[/tex].
O que significa este resultado? Significa que na superfície z = f(x,y), se você olhar no plano xy o ponto [tex](x_0, y_0) = (\pi/2, 2)[/tex], o vetor (-1, 4) te mostra qual é a direção de maior variação da superfície naquele ponto.