Ao racionalizarmos o a expressão e simplificarmos podemos concluir que
[tex]\Large\text{$\dfrac{\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\sqrt[3]{16} } }\Rightarrow\boxed{\dfrac{\left(\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}\right) \cdot \sqrt[6]{16^5}}{16 } }$}\\[/tex]
- Mas, como chegamos nessa resposta?
Temos que racionalizar a seguinte expressão
[tex]\dfrac{\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\sqrt[3]{16} } }[/tex]
Mas antes, temos que saber o que é racionalizar
- Racionalizar um expressão significa tirar a raiz do denominador, para fazer isso usamos métodos algébricos
Antes de começarmos a racionalizar podemos simplificar a expressão de modo que facilite nosso cálculos
Perceba que no denominador da expressão temos [tex]\sqrt{\sqrt[3]{16} }[/tex]
Podemos usar um propriedade da raiz que diz o seguinte
- [tex]\Large\text{$\sqrt[X]{\sqrt[Y]{Z} } = \sqrt[X\cdot Y]{Z}$}[/tex]
Então podemos escrever o [tex]\sqrt{\sqrt[3]{16} }[/tex] como [tex]\sqrt[6]{16}[/tex]
[tex]\Large\text{$\sqrt[2]{\sqrt[3]{16} } = \sqrt[2\cdot 3]{16}$}\\\\\\\boxed{\Large\text{$\sqrt[6]{16} $}}[/tex]
Então ficamos com a seguinte expressão
[tex]\Large\text{$\dfrac{\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}}{\sqrt{\sqrt[3]{16} } }\Rightarrow\boxed{\dfrac{\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}}{ \sqrt[6]{16} }} $}[/tex]
Agora vamos racionalizar a expressão
Para começar vamos multiplicar a expressão pela mesma raiz do denominador, tanto em cima quanto em baixo só que o radical da raiz vai ser elevado a mesmo valor do índice menos 1
[tex]\Large\text{$\dfrac{\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}}{ \sqrt[6]{16} }\cdot \dfrac{ \sqrt[6]{16^5}}{ \sqrt[6]{16^5}} $}[/tex]
[tex]\Large\text{$\dfrac{\left(\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}\right) \cdot \sqrt[6]{16^5}}{ \sqrt[6]{16} \cdot \sqrt[6]{16^5}} $}[/tex]
Bem agora no denominador podemos usar uma propriedade de multiplicação de raízes de mesmo índice
- [tex]\Large\text{$\sqrt[n]{x^m}\cdot \sqrt[n]{x^y}= \sqrt[n]{x^{m+y}} $}[/tex]
[tex]\Large\text{$\dfrac{\left(\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}\right) \cdot \sqrt[6]{16^5}}{ \sqrt[6]{16} \cdot \sqrt[6]{16^5}} $}\\\\\\\\\Large\text{$\dfrac{\left(\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}\right) \cdot \sqrt[6]{16^5}}{ \sqrt[6]{16^6} } $}\\\\\\\\\boxed{\Large\text{$\dfrac{\left(\sqrt[3]{4}-6\sqrt[3]{2}\right) \cdot \sqrt[6]{16^5}}{16 } $}}[/tex]
Como a questão só quer a forma racionalizada e não a forma simplificada da questão podemos parar por aqui
Link de questão parecida:
https://brainly.com.br/tarefa/1389846
