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O logarítmo de um número em determinada base é basicamente o expoente que define uma potência. O problema se refere a x = 64.
O enunciado diz que o logarítmo de um número x em deternimada base (que chamaremos de a), é igual a 6. Ou seja, a base a elevada a 6 é igual a x.
Representamos assim:
[tex]\boxed{log_{a}6=x}[/tex]
O enunciado também diz que o logaritmo desse mesmo número x, com base igual ao dobro da anterior, é igual a 3, ou seja: a base 2a elevada a 3 é igual a esse mesmo número x.
Representamos assim:
[tex]\boxed{log_{(2a)}3=x}[/tex]
Perceba que as duas representações são iguais a x, e, desta forma, podemos dizer que [tex]a^{6} =(2a)^{3}[/tex], e daí podemos encontrar o valor de a.
[tex]a^{6} =(2a)^{3}\\ \\ a^{6} =8a^{3}\\ \\ a^{6} -8a^{3}=0\\ \\ \boxed{a^{3}\cdot(a^{3}-8 )=0}[/tex]
Para que essa igualdade seja verdadeira, temos que a³ = 0 e a³- 8 =0,
portanto:
[tex]a^{3} -8=0\\ \\ a^{3} =8\\ \\ \sqrt[3]{a^{3} } =\sqrt[3]{8} \\ \\ \boxed{a=2}[/tex]
[tex]log_{a}6=x\\ \\ \boxed{log_{2}6=64}\\ \\\\ \\ log_{(2\cdot 2)}3=64\\ \\ \boxed{log_{4}3=64}[/tex]
Portanto, x = 64.
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