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os numeros diagonais de um poligono convexo pode ser calculado pela formula d= n.(n-3/2[tex]os numeros diagonais de um poligono convexo pode ser calculado pela formula d= n.(\frac{n-3}{2}) qual e o poligono cujo numero de diagonais e 54[/tex]
Aplicando-se a fórmula:
[tex]54=\frac{n(n-3)}{2}\rightarrow108=n^2-3n\rightarrow n^2-3n-108=0[/tex]
Resolvendo-se a equação:
[tex]\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-108)=9+432=441[/tex]
[tex]n=\frac{3+\sqrt{441}}{2}=\frac{3+21}{2}=12[/tex]
O número de diagonais de um polígono de [tex]\text{n}[/tex] lados é dado por:
[tex]\text{Diagonais}=\dfrac{\text{n}\cdot(\text{n}-3)}{2}[/tex]
Desta maneira, se um polígono possui [tex]54[/tex] diagonais, temos:
[tex]\dfrac{\text{n}\cdot(\text{n}-3)}{2}=54[/tex]
[tex]\text{n}\cdot(\text{n}-3)=108[/tex]
[tex]\text{n}^2-3\text{n}-108=0[/tex]
Logo:
[tex]\text{n}=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot(-108)}}{2\cdot1}=\dfrac{3\pm21}{2}[/tex]
Como [tex]\text{n}\in\mathbb{N}^*[/tex], segue que:
[tex]\text{n}=\dfrac{3+21}{2}=\dfrac{24}{2}=12[/tex]
Portanto, o polígono que possui [tex]54[/tex] diagonais é o dodecágono.