✅ Tarefa (60404489) - Depois de resolver os cálculos, concluímos que expressão analítica da função quadrática que representa a parábola pode ser dada em sua forma canônica ou em sua forma reduzida que são, respectivamente:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf\rho: f(x) = -\frac{1}{9}\cdot(x - 1)^2 + 1\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf\rho: f(x) = -\frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{9}x + \frac{8}{9}\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sejam os pontos dados:
[tex]\Large\begin{cases} V = V\acute{e}rtice = (1, 1)\\P = Raiz = (-2, 0)\end{cases}[/tex]
Em primeiro lugar devemos saber que uma parábola pode ser expressa analiticamente por algumas formas algébricas. Uma destas formas é a "canônica", muito utilizada nas ocasiões em que temos as coordenadas de seu vértice.
A forma canônica da função quadrática - que representa a curva denominada por parábola - pode ser expressa pela seguinte forma algébrica:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = a\cdot (x - x_V)^2 + y_V,~~~~\forall a \in \mathbb{R}^*\end{gathered}$}[/tex]
Agora observemos que temos os pontos "V" e "P", porém, não temos o valor do parâmetro "a". Então, devemos determinar o valor do parâmetro "a".
Além disso, devemos perceber que:
[tex]\Large\begin{cases} f(x) = y_P\\x = x_P\end{cases}[/tex]
Desta forma podemos determinar o valor do parâmetro "a", fazendo:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}f(x) & = a\cdot(x - x_V)^2 + y_V\\y_P & = a\cdot(x_P - x_V)^2 + y_V\\0 & = a\cdot(-2 - 1)^2 + 1\\0 & = a\cdot(-3)^2 + 1\\0 & = 9a + 1\\9a & = -1\\a & = -\frac{1}{9}\end{aligned} $}[/tex]
Portanto, o valor de "a" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} a = -\frac{1}{9}\end{gathered}$}[/tex]
Agora, podemos escrever a expressão analítica da função que representa a parábola em sua forma canônica que é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\rho: f(x) = -\frac{1}{9}\cdot(x - 1)^2 + 1\end{gathered}$}[/tex]
Agora, se você desejar, pode converter a forma canônica para a forma reduzida. Para isso, basta expandir o termo quadrado e simplificar os cálculos. Desta forma, fica:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}f(x) & = -\frac{1}{9}\cdot(x - 1)^2 + 1\\& = -\frac{1}{9}\cdot(x^2 - 2x + 1) + 1\\& = -\frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{9}x - \frac{1}{9} + 1\\& = \frac{-x^2 + 2x - 1 + 9}{9}\\& = \frac{-x^2 + 2x + 8}{9}\\& = -\frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{9}x + \frac{8}{9}\end{aligned} $}[/tex]
✅ Então, a forma reduzida é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\rho: f(x) = -\frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{9}x + \frac{8}{9}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
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[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
