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Resposta:
Se os números \( 3, x, y \) formam uma Progressão Geométrica (PG) e os números \( x, y, 9 \) formam uma Progressão Aritmética (PA), podemos usar as propriedades dessas progressões para encontrar os valores de \( x \) e \( y \).
Para uma PG, temos a relação:
\[ \frac{x}{3} = \frac{y}{x} \]
E para uma PA, a diferença comum \( d \) é:
\[ d = y - x \]
Substituindo a relação da PG na fórmula da PA, obtemos:
\[ \frac{y}{x} = \frac{9}{y} \]
\[ y^2 = 9x \]
\[ y = \sqrt{9x} \]
Agora, substituímos \( y \) na equação da PA:
\[ d = \sqrt{9x} - x \]
Sabemos que \( d = 9 - y \) na PA, então substituímos novamente:
\[ \sqrt{9x} - x = 9 - \sqrt{9x} \]
\[ 2\sqrt{9x} = 9 + x \]
\[ 36x = (9 + x)^2 \]
\[ 36x = 81 + 18x + x^2 \]
\[ x^2 + 18x - 36x + 81 = 0 \]
\[ x^2 - 18x + 81 = 0 \]
Esta é uma equação quadrática em \( x \). Resolvendo-a:
\[ x = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 - 4 \cdot 1 \cdot 81}}{2 \cdot 1} \]
\[ x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 324}}{2} \]
\[ x = \frac{18 \pm 0}{2} \]
\[ x = 9 \]
Se \( x = 9 \), então \( y = \sqrt{9 \cdot 9} = 9 \).
Portanto, \( x + y = 9 + 9 = 18 \).
Explicação passo a passo: