Resposta: Para responder às suas perguntas, vamos analisar cada uma delas separadamente:
Quantidade de triângulos vazios após n iterações:
Após cada iteração, a quantidade de triângulos vazios (brancos) dobrará. Isso ocorre porque, a cada iteração, cada triângulo preto original é dividido em quatro triângulos menores, dos quais um é removido. Assim, após cada iteração, a quantidade de triângulos vazios será duas vezes maior do que na iteração anterior. Isso forma uma progressão geométrica.
A sequência da quantidade de triângulos vazios (brancos) após n iterações será:
1, 2, 4, 8, 16, ...
A razão dessa progressão geométrica é 2, pois a quantidade dobra a cada iteração.
Quantidade de triângulos pretos:
A quantidade de triângulos pretos, por outro lado, diminui após cada iteração. Na iteração inicial, há apenas um triângulo preto. Após cada iteração, esse triângulo é dividido em quatro triângulos menores, dos quais três permanecem. Portanto, a quantidade de triângulos pretos diminui em uma razão de 3 para 4, o que não é uma progressão aritmética ou geométrica.
Área dos triângulos pretos:
A área dos triângulos pretos diminui após cada iteração. Isso ocorre porque, a cada iteração, um triângulo é dividido em quatro triângulos menores, e a área total permanece a mesma, enquanto a quantidade de triângulos aumenta. Portanto, a área de cada triângulo preto diminui à medida que mais triângulos são criados.
No entanto, a razão específica da diminuição da área dependerá das dimensões iniciais do triângulo preto e de como ele é dividido em iterações subsequentes. Se o triângulo original for equilátero, por exemplo, e for dividido em quatro triângulos congruentes, a área de cada triângulo preto será um quarto da área do triângulo original após cada iteração. Isso forma uma progressão geométrica com uma razão de 1/4.
Explicação passo a passo: