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✅ Tarefa (60508332) - Tendo finalizado os cálculos, concluímos que a derivada de primeira ordem da referida função exponencial é:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} f'(x) = e^{\sin(x)}\cos(x)\end{gathered}$}[/tex]
Sejam a função:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = e^{\sin(x)}\end{gathered}$}[/tex]
Antes de iniciarmos o processo de derivação, devemos atentar para as seguintes regras de derivações:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}Se:~~f(x) & = g(x)^{h(x)}\\\\Ent\tilde{a}o:~~f'(x) &= g(x)^{h(x)}\cdot\{h(x)\cdot\ln\left[g(x)\right]\}'\end{aligned} $}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}~f(x) = \sin(x)\Longrightarrow f'(x) = \cos(x)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}Se:~~~~~f(x) & = g(h(x))\\\\Ent\tilde{a}o:~~~~f'(x) &= g'(h(x))\cdot h'(x)\end{aligned} $}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{Se}~f(x) = k\cdot x^n \Longrightarrow f'(x) = n\cdot k\cdot x^{n - 1}\end{gathered}$}[/tex]
Agora podemos executar a derivação da função. Para isso, fazemos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}f'(x) & = \left[ e^{\sin(x)}\right]^'\\& = e^{\sin(x)}\cdot\left[\sin(x)\cdot \ln(e) \right]'\\& = e^{\sin(x)}\cdot\left[ \sin(x)\cdot \log_e(e)\right]'\\& = e^{\sin(x)}\cdot\left[ \sin(x)\cdot 1\right]'\\& = e^{\sin(x)}\cdot \left[ \sin(x)\right]'\\& = e^{\sin(x)}\cos(x)\cdot(x)'\\& =e^{\sin(x)}\cos(x)\cdot 1\cdot x^{1 - 1} \\ & =e^{\sin(x)}\cos(x)\cdot 1\cdot x^0 \\ & =e^{\sin(x)}\cos(x)\cdot 1\cdot 1 \\& = e^{\sin(x)}\cos(x)\cdot1\\& = e^{\sin(x)}\cos(x)\end{aligned} $}[/tex]
✅ Portanto:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f'(x) = e^{\sin(x)}\cos(x)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
