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Resposta:
Explicação passo a passo:
Para resolver esse problema, primeiro precisamos encontrar a área do retângulo original e, em seguida, encontrar as dimensões do novo retângulo.
A área do retângulo original é dada por:
\[ \text{Área} = \text{comprimento} \times \text{largura} \]
No caso, a área do retângulo original é \(2m \times 5m = 10m^2\).
Agora, vamos chamar o aumento na largura e no comprimento de \(x\) metros. Então, as dimensões do novo retângulo serão \(2m + x\) e \(5m + x\) metros, respectivamente.
Como a área do novo retângulo é 7 vezes a área do retângulo original, temos a seguinte equação:
\[ (2m + x)(5m + x) = 7 \times 10m^2 \]
\[ 10m^2 + 2x(5m) + x(2m) + x^2 = 70m^2 \]
\[ 10m^2 + 10xm + 2xm + x^2 = 70m^2 \]
\[ x^2 + 12xm + 10m^2 - 70m^2 = 0 \]
\[ x^2 + 12xm - 60m^2 = 0 \]
Agora, podemos resolver esta equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Onde:
- \( a = 1 \)
- \( b = 12m \)
- \( c = -60m^2 \)
Vamos resolver:
\[ x = \frac{-12m \pm \sqrt{(12m)^2 - 4 \times 1 \times (-60m^2)}}{2 \times 1} \]
\[ x = \frac{-12m \pm \sqrt{144m^2 + 240m^2}}{2} \]
\[ x = \frac{-12m \pm \sqrt{384m^2}}{2} \]
\[ x = \frac{-12m \pm 8\sqrt{6}m}{2} \]
\[ x = -6m \pm 4\sqrt{6}m \]
Então, as dimensões do novo retângulo são \( (2m - 6m + 4\sqrt{6}m) \times (5m - 6m + 4\sqrt{6}m) \).
Para encontrar o perímetro do novo retângulo, somamos os comprimentos dos quatro lados:
\[ P = 2(2m - 6m + 4\sqrt{6}m) + 2(5m - 6m + 4\sqrt{6}m) \]
\[ P = 4m - 12m + 8\sqrt{6}m + 10m - 12m + 8\sqrt{6}m \]
\[ P = 14m - 24m + 16\sqrt{6}m \]
\[ P = -10m + 16\sqrt{6}m \]
Portanto, o perímetro do novo retângulo é \( -10m + 16\sqrt{6}m \).