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Resolução Comentada:
Para nós determinarmos o valor de "x", devemos seguir os passos abaixo:
[tex] x^2 + 3x - 2 < 0 \longrightarrow x^2 + 3x - 2 = 0 [/tex]
Para encontrarmos as raízes da equação "x² + 3x - 2 = 0", nós devemos empregar a fórmula de Bhaskara ou a fórmula quadrática:
[tex] x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} [/tex]
Onde:
[tex] a = 1 \quad b = 3 \quad c = -2 [/tex]
Inserindo os valores dos coeficientes "a", "b" e "c", nós teremos:
[tex] x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{(3)^2 - 4 \cdot (1) \cdot (-2)}}{2 \cdot (1)} \\ x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} \\ x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{17}}{2} \] [/tex]
Portanto, as raízes são:
[tex] x_1 = \dfrac{-3 - \sqrt{17}}{2} \] \\ x_2 = \dfrac{-3 + \sqrt{17}}{2} [/tex]
[tex] f(x) = x^2 + 3x - 2 [/tex]
Os sinais de uma função quadrática ou de segundo grau têm correlação com o sinal do coeficiente quadrático ou de segundo grau "a".
Dadas as raízes "x₁" e "x₂", com"x₁" < x₂", nós teremos:
→ nos intervalos ]-∞, x₁[ e ]x₂, +∞[, a função quadrática ou de segundo grau tem o mesmo sinal que o sinal do coeficiente quadrático ou de segundo grau "a";
→ no intervalo ]x₁, x₂[, a função quadrática ou de segundo grau tem o sinal contrário ao sinal do coeficiente quadrático ou de segundo grau "a".
Feitas estas considerações, vamos determinar os sinais da função quadrática ou de segundo grau "f(x) = x² + 3x - 2", sabendo-se que o sinal do coeficiente quadrático ou de segundo grau "a" é positivo (a = 1 > 0) e que as suas raízes são:
[tex] x_1 = \dfrac{-3 - \sqrt{17}}{2} \quad x_2 = \dfrac{-3 + \sqrt{17}}{2} [/tex]
Nós teremos:
→ a função "f" será "positiva" nos intervalos ]-∞, x₁[ e ]x₂, +∞[;
→ a "f" será "negativa" no intervalo ]x₁, x₂[.
Logo, o intervalo que satisfaze a inequação "x² + 3x - 2 < 0" é:
[tex] \dfrac{-3 - \sqrt{17}}{2} < x < \dfrac{-3 + \sqrt{17}}{2} [/tex]
Conclusão:
O valor de "x" deve estar no seguinte intervalo
[tex] \dfrac{-3 - \sqrt{17}}{2} < x < \dfrac{-3 + \sqrt{17}}{2} [/tex]
Portanto, esses devem ser os valores de "x" que satisfazem a condição de "x² + 3x - 2 < 0".