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Utilizando os conceitos de progressão aritmética, chegamos à conclusão de que [tex]\mathsf{a_{20} = 98}[/tex] e [tex]\mathsf{S_{20}= 1010}[/tex].
Chama-se progressão aritmética (P.A.) uma sequência dada pela seguinte fórmula de recorrência:
[tex]\boxed{\mathsf{\begin{cases}\mathsf{a_1 = a}\\\mathsf{a_n = a_{n - 1} + r, \forall n \in \mathbb{N}, n \geqslant 2}\end{cases}}}[/tex]
em que [tex]\mathsf{\{a, r\} \subset \mathbb{R}}[/tex].
Na questão utilizaremos a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética, na qual é dada por:
[tex]\boxed{\mathsf{a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r}}[/tex]
Também utilizaremos a fórmula para a soma dos n primeiros termos de de uma progressão aritmética, na qual é dada por:
[tex]\boxed{\mathsf{S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}}}[/tex]
Da questão, temos que:
[tex]\mathsf{\begin{cases}\mathsf{a_1 = 3}\\\mathsf{r = 5}\\\mathsf{a_{20} = \ ?}\\\mathsf{S_{20} = \ ?}\end{cases}}[/tex]
Vamos inicialmente calcular o valor de [tex]\mathsf{a_{20}}[/tex].
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r}\\\mathsf{\Longleftrightarrow a_{20}= a_1 + (20 - 1) \cdot r}\\\mathsf{\Longleftrightarrow a_{20}= 3 + 19 \cdot 5}\\\mathsf{\Longleftrightarrow a_{20}= 3 + 95}\\\\\boxed{\mathsf{\Longleftrightarrow a_{20}= 98}}[/tex]
Concluímos então que [tex]\mathsf{a_{20}= 98}[/tex]. Calculando a soma dos 20 primeiros termos da P.A. dada, temos:
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}}\\\\\mathsf{\Longleftrightarrow S_{20}= \dfrac{(3 + 98) \cdot 20}{2}}\\\\\mathsf{\Longleftrightarrow S_{20}= 101 \cdot 10}\\\\\boxed{\mathsf{\Longleftrightarrow S_{20}= 1010}}[/tex]
Concluímos então que a soma dos 20 primeiros termos da P.A. dada é igual a 1010.
Para mais conhecimento, acesse:
- brainly.com.br/tarefa/60513322.
