Com os devidos cálculos podemos concluir que:
1) ab = 30
2) y / 10⁷ = 32
3) a² + b² = 500
1) Se a e b são números inteiros positivos tais que a - b = 7 e a²b - ab²= 210.
Dadas as duas equações:
[tex]\Large\begin{cases}\sf a - b = 7\\\sf a^2b - ab^2 = 210 \end{cases}[/tex]
A segunda equação pode ser reescrita como:
[tex]\displaystyle\Large\begin{array}{lr}\sf ab(a - b) = 210\\\\ \displaystyle \sf ab(7) = 210\\\\ \displaystyle \sf 7ab = 210\\\\ \displaystyle \sf ab = 210 / 7\\\\ \displaystyle \sf ab = 30 \end{array}[/tex]
Portanto, ab = 30.
2) Realizando as operações:
[tex]\displaystyle\Large\begin{array}{lr}\sf y = (2010)^2 \cdot 2000 - (1990)^2 \cdot 2000\\\\ \displaystyle \sf y = 2010^2 \cdot 2000 - 1990^2 \cdot 2000\\\\ \displaystyle \sf y = (2010^2 - 1990^2) \cdot 2000\\\\ \displaystyle \sf y = (2010 + 1990)\cdot (2010 - 1990) \cdot 2000\\\\ \displaystyle \sf y = 4000 \cdot 20 \cdot 2000\\\\ \displaystyle \sf y = 160000 \cdot 2000\\\\ \displaystyle \sf y = 320000000 \\\\\\\underline{ \boxed{\displaystyle \sf \dfrac{y }{ 10^7 }= \dfrac{32\Big/ \mkern -12mu0\Big/ \mkern -12mu0\Big/ \mkern -12mu0\Big/ \mkern -12mu0\Big/ \mkern -12mu0\Big/ \mkern -12mu0\Big/ \mkern -12mu0 }{\Big/ \mkern -17mu 10^7} = 32} } \end{array}[/tex]
Portanto, y / 10⁷ = 32.
3) Sendo (a + b)² = 900 e ab = 200
Dadas as duas equações:
[tex]\Large\begin{cases}\sf (a + b)^2= 900\\\sf ab = 200 \end{cases}[/tex]
Expandindo o quadrado de (a + b):
[tex]\displaystyle\Large\begin{array}{lr}\sf a^2 + 2ab + b^2 = 900\\\\ \displaystyle \sf a^2 + 2\cdot 200 + b^2 = 900\\\\ \displaystyle \sf a^2 + 400 + b^2 = 900\\\\ \displaystyle \sf a^2 + b^2 = 900 - 400\\\\ \displaystyle \sf a^2 + b^2 = 500 \end{array}[/tex]
Portanto, a² + b² = 500.
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