Resposta:
Para racionalizar o denominador da expressão \( \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \), multiplicamos tanto o numerador quanto o denominador pela conjugada do denominador. A conjugada de \( \sqrt{2} + 1 \) é \( \sqrt{2} - 1 \).
Então, fazemos:
\[ \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} \]
Isso resulta em:
\[ \frac{1 \cdot (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1) \cdot (\sqrt{2} - 1)} \]
No denominador, aplicamos a diferença de quadrados:
\[ (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1 \]
Portanto, o denominador se torna 1:
\[ \frac{\sqrt{2} - 1}{1} = \sqrt{2} - 1 \]
Portanto, a expressão racionalizada é \( \sqrt{2} - 1 \).
Portanto, \( \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1 \).
