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Após os cálculos, chegamos à conclusão de que a solução da inequação do 2º grau [tex]\mathsf{x^2 - 4 < 0}[/tex] é [tex]\mathsf{S = \{x \in \mathbb{R} \ |\ - 2 < x < 2\}}[/tex].
Antes de tudo, precisamos revisar como resolver uma inequação modular.
- 1º caso: [tex]\mathsf{| x | < k \Longleftrightarrow - k < x < k}[/tex].
- 2º caso: [tex]\mathsf{| x | > k \Longleftrightarrow x < - k \textsf{ ou } k > k}[/tex].
Além disso, sabemos também que, se [tex]\mathsf{x \in \mathbb{R}}[/tex], então [tex]\mathsf{\sqrt{x^2} = |x|}[/tex].
Resolvendo a inequação do 2º grau dada passo a passo, temos:
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow x^2 - 4 < 0}\\\mathsf{\Longleftrightarrow x^2 - 4 + 4 < 4}\\\mathsf{\Longleftrightarrow x^2 < 4}\\[/tex]
Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow x^2 < 4}\\\mathsf{\Longleftrightarrow \sqrt{x^2} < \sqrt{4}}\\[/tex]
Utilizando a premissa vista, temos que [tex]\mathsf{\sqrt{x^2} = |x|}[/tex].
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow \sqrt{x^2} < \sqrt{2^2}}\\\mathsf{\Longleftrightarrow |x| < 2}\\[/tex]
Perceba que temos uma inequação modular, na incógnita [tex]\mathsf{x}[/tex]. Basta utilizar o primeiro caso visto inicialmente, no qual diz que [tex]\mathsf{| x | < k \Longleftrightarrow - k < x < k}[/tex].
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow |x| < 2}\\\\\boxed{\mathsf{\Longleftrightarrow - 2 < x < 2}}[/tex]
Portanto, a solução da inequação do 2º grau [tex]\mathsf{x^2 - 4 < 0}[/tex] é:
[tex]\boxed{\mathsf{S = \{x \in \mathbb{R} \ |\ - 2 < x < 2\}}}[/tex]
Ou na forma de intervalos reais:
[tex]\boxed{\mathsf{S = ]- 2, 2[}}[/tex]
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- brainly.com.br/tarefa/57508776.
