✅ Tarefa (60614655) - Depois de resolver os cálculos, concluímos que o valor do parâmetro "k" procurado é:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} k = -8\end{gathered}$}[/tex]
Seja a equação polinomial paramétrica do terceiro grau:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2x^3 - x^2 + kx + 4 = 0\end{gathered}$}[/tex]
Cujos coeficientes são:
[tex]\Large\begin{cases} a = 2\\b = -1\\c = k\\d = 4\end{cases}[/tex]
Cuja a forma reduzida geral é dada por:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} ax^3 + bx^2 + cx + d = 0~~~\forall a, b, c \in \mathbb{R}~\textrm{e}~a\neq 0\end{gathered}$}[/tex]
Para resolver esta questão, devemos utilizar as relações de Girard aplicadas à equação do terceiro grau. Para isso, temos:
[tex]\Large\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a}\\\\x_1\cdot x_2 + x_1\cdot x_3 + x_2\cdot x_3 = \dfrac{c}{a}\\\\x_1\cdot x_2\cdot x_3 = -\dfrac{d}{a}\end{cases}[/tex]
Substituindo os coeficientes pelos respectivos valores das relações de Girard, temos o seguintes sistema de equações:
[tex]\Large\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{(-1)}{2}\\\\x_1\cdot x_2 + x_1\cdot x_3 + x_2\cdot x_3 = \dfrac{k}{2}\\\\x_1\cdot x_2\cdot x_3 = -\dfrac{4}{2}\end{cases}[/tex]
Que organizando este último sistema, temos:
[tex]\Large\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = \dfrac{1}{2}\\\\x_1\cdot x_2 + x_1\cdot x_3 + x_2\cdot x_3 = \dfrac{k}{2}\\\\x_1\cdot x_2\cdot x_3 = -2\end{cases}[/tex]
Agora, sabemos que o produto de duas das raízes é igual a "-1". Como não foi informado um produto em específico, podemos escolher quaisquer um dos três produtos. Neste caso vou escolher:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x_1\cdot x_2 = -1\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo esse produto na segunda relação de Girard, chegamos à equação:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} {\bf i}~~~~~~~~~~~-1 + x_1\cdot x_3 + x_2\cdot x_3 = \frac{k}{2}\end{gathered}$}[/tex]
Isolando a terceira raiz na terceira relação de Girard, temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}x_1\cdot x_2\cdot x_3 & = -2\\x_3 & = -\frac{2}{x_1\cdot x_2}\\x_3 & = \frac{-2}{-1}\\x_3 & = 2\end{aligned} $}[/tex]
Substituindo o valor da terceira raiz na equação i, temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}-1 + x_1\cdot2 + x_2\cdot 2 & = \frac{k}{2}\\2x_1 + 2x_2 & = \frac{k}{2} + 1\\2\cdot (x_1 + x_2) & = \frac{k + 2}{2}\\\\x_1 + x_2 & = \frac{\dfrac{k + 2}{2}}{2}\\\\x_1 + x_2 & = \frac{k + 2}{2}\cdot\frac{1}{2}\\x_1 + x_2 & = \frac{k + 2}{4}\end{aligned} $}[/tex]
Agora, substituindo tanto o valor da terceira raiz, quanto a soma das duas primeiras raízes na primeira relação de Girard, temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}x_1 + x_2 + x_3 & = \frac{1}{2}\\\\\frac{k + 2}{4} + 2 & = \frac{1}{2}\\\\\frac{k + 2 + 8}{4} & = \frac{1}{2}\\\\\frac{k + 10}{4} & = \frac{1}{2}\\2k + 20 & = 4\\2k & = 4 - 20\\2k & = -16\\k & = -\frac{16}{2}\\k & = -8\end{aligned} $}[/tex]
✅ Portanto:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} k = -8\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
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