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Sagot :
Usando as propriedades de retas perpendiculares, obtém-se:
[tex]\large\text{$~y=\dfrac{3}{2} x-\dfrac{1}{2}~ $}[/tex]
ou
[tex]\Large\text{$~-3x+2y+1 =0 ~$}[/tex]
A reta "t" está na forma de Equação Geral.
[tex]\Large\text{$2x+3y-4=0$}[/tex]
Vai-se passar para a forma de Equação Reduzida da reta
[tex]\LARGE\text{$y=ax+b~~~~~~~~~~~ a\neq 0$}[/tex]
[tex]\Large\text{$2x+3y-4=0$}[/tex]
[tex]\Large\text{$3y=-2x+4$}[/tex]
[tex]\Large\text{$3y\div 3=-\dfrac{2x}{3} +\dfrac{4}{3} $}[/tex]
[tex]\Large\text{$y=-\dfrac{2}{3} \cdot x+\dfrac{4}{3} $}[/tex]
O valor que multiplica o "x"
[tex]\Large\text{$m_{~t}= -\dfrac{2}{3} $}[/tex]
é o declive desta reta.
Existe uma relação entre os declives de retas perpendiculares:
[tex]\Large\text{$m_{~t} \cdot m_{~s} =-1 $}[/tex]
Ache-se então o declive da reta "s".
[tex]\Large\text{$-\dfrac{2}{3} \cdot m_{~s} =-1 $}[/tex]
[tex]\Large\text{$-\dfrac{2}{3} \cdot m_{~s} \div (-\dfrac{2}{3}) =-1 \div (-\dfrac{2}{3})$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ m_{~s} =-1 \div (-\dfrac{2}{3})$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ m_{~s} =-\dfrac{1}{1} \div (-\dfrac{2}{3})$}[/tex]
Observação
Divisão de frações
- manter a primeira fração
- passar de divisão para multiplicação
- inverter a segunda fração
[tex]\Large\text{$ m_{~s} =+\dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{3}{2}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ m_{~s} =\dfrac{3}{2}$}[/tex]
Agora está-se em condições de começar a escrever a Equação Reduzida da reta "s".
[tex]\Large\text{$y=\dfrac{3}{2} x+b$}[/tex]
Falta apenas o valor de "b".
Usa-se as coordenadas do ponto:
[tex]\Large\text{$P~(~3~{;}~4~)$}[/tex]
[tex]\Large\text{$4=\dfrac{3}{2} \cdot 3+b$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\dfrac{4}{1} =\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{3}{1} +\dfrac{b}{1} $}[/tex]
[tex]\Large\text{$\dfrac{4}{1} =\dfrac{9}{2} +\dfrac{b}{1} $}[/tex]
[tex]\Large\text{$\dfrac{4\cdot 2}{1\cdot 2} =\dfrac{9}{2} +\dfrac{b\cdot 2}{1\cdot 2} $}[/tex]
[tex]\Large\text{$\dfrac{8}{ 2} =\dfrac{9}{2} +\dfrac{2b}{2} $}[/tex]
[tex]\Large\text{$\dfrac{8}{ 2} =\dfrac{9+2b}{2}$}[/tex]
Duas frações com o mesmo denominador são iguais quando os numeradores forem iguais entre si.
[tex]\Large\text{$8 =9+2b$}[/tex]
[tex]\Large\text{$8 -9=2b$}[/tex]
[tex]\Large\text{$-\dfrac{1}{2} =\dfrac{2b}{2} $}[/tex]
[tex]\Large\text{$-1 =2b $}[/tex]
[tex]\Large\text{$-\dfrac{1}{2} =b $}[/tex]
[tex]\boxed{\Large\text{$~y=\dfrac{3}{2} x-\dfrac{1}{2}~ $}}[/tex]
Equação Reduzida da reta " s "
Ver no gráfico em anexo 1
Neste gráfico esta reta passa pelo ponto P ( 3 ; 4 ) e forma um ângulo de 90º com a reta original ( reta " t ").
Logo são perpendiculares.
Se necessário usar a reta "s" na forma de Equação Geral
[tex]\Large\text{$~\dfrac{y\cdot 2}{1\cdot 2} =\dfrac{3x}{2} -\dfrac{1}{2}~ $}[/tex]
[tex]\Large\text{$~\dfrac{2y}{2} =\dfrac{3x-1}{2} $}[/tex]
[tex]\Large\text{$~2y =3x-1 $}[/tex]
[tex]\boxed{\Large\text{$~-3x+2y+1 =0 ~$}}[/tex]
( ver gráfico em anexo 2 )
ou
Multiplicar tudo por ( - 1 )
[tex]\Large\text{$~-3x\cdot (-1)+2y\cdot (-1)+1 \cdot (-1)=0\cdot (-1) ~$}}[/tex]
[tex]\boxed{\Large\text{$~3x-2y-1=0 ~$}}[/tex]
Está correto pois continua perpendicular e passa pelo ponto P.
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Bons estudos.
Duarte Morgado
( Mestre em Matemática }
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[tex](\cdot)[/tex] multiplicação [tex](\neq )[/tex] diferente de
Nas minhas respostas , que são originais , mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.
O que eu sei, eu ensino.
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