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Método 1: Substituição
Resolva a segunda equação para y:
y = 2x - 3
Substitua esta expressão por y na primeira equação:
x² + (2x - 3)² = 5
Expanda a equação:
x² + 4x² - 12x + 9 = 5
Combine termos semelhantes:
5x² - 12x + 4 = 0
Fatore a equação:
(x - 2)² = 0
Resolva para x:
x = 2
Substitua x de volta na equação y = 2x - 3:
y = 2(2) - 3
Resolva para y:
y = 1
Resposta:
As soluções do Sistema Linear são os pares ordenados (2/5, -11/5) e (2, 1)
Explicação passo-a-passo:
A Tarefa nos apresenta um Sistema Linear de equações de primeiro e de segundo graus.
Para a sua resolução, nós iremos aplicar o Método da Substituição.
Vejamos:
[tex] \begin{cases} 1) \: {x}^{2} + {y}^{2} = 5 \\ 2) \: 2x - y = 3\end{cases}[/tex]
Inicialmente, nós iremos isolar a variável "y" da Equação N° 2:
[tex]2) \: 2x - y = 3 \\ 2x - y - 3 = 0 \\ 2x - 3 = 0 + y \\ 2x - 3 = y \\ y = 2x - 3 \\ 3) \: y = 2x - 3[/tex]
Com o isolamento da variável "y", nós formamos a Equação N° 3.
Agora, nós iremos substituir a variável "y" da Equação N° 1:
[tex]1) \: {x}^{2} + {y}^{2} = 5 \\ {x}^{2} + {(2x - 3)}^{2} = 5[/tex]
Vamos prosseguir no desenvolvimento da equação acima:
[tex] {x}^{2} + {(2x)}^{2} - 2 \cdot (2x) \cdot (3) + {(3)}^{2} = 5 \\ {x}^{2} + 4 {x}^{2} - 12x + 9 = 5 \\ 5 {x}^{2} - 12x + 9 = 5 \\ 5 {x}^{2} - 12x + 9 - 5 = 0 \\ 5 {x}^{2} - 12x + 4 = 0[/tex]
Na sequência, nós iremos empregar a Fórmula de Bhaskara para resolver a equação de segundo grau e, assim, determinar o valor de "x":
[tex]x = \dfrac{ - ( - 12) \pm \sqrt{ {( - 12)}^{2} - 4 \cdot (5) \cdot (4)}}{2 \cdot (5)} \\ x = \dfrac{12 \pm \sqrt{144 - 80} }{10} \\ x = \dfrac{12 \pm \sqrt{64} }{10} \\ x = \dfrac{12 \pm8}{10} \\ x = \dfrac{12 - 8}{10} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} \\ ou \\ x = \dfrac{12 + 8}{10} = \dfrac{20}{10} = 2[/tex]
Os valores da variável "x" são "x = ⅖" ou "x = 2".
Por fim, vamos determinar os valores da variável "y", através da Equação N° 3:
[tex]y = 2 \cdot \left( \dfrac{2}{5} \right) - 3 \\ y = \dfrac{4}{5} - 3 \\ y = \dfrac{4}{5} - \dfrac{15}{5} \\ y = - \dfrac{11}{5} [/tex]
[tex]y = 2x - 3 \\ y = 2 \cdot (2) - 3 \\ y = 4 - 3 \\ y = 1[/tex]
Portanto, as soluções do Sistema Linear são os pares ordenados (2/5, -11/5) e (2, 1).