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Resposta:
Para encontrar vetores que pertençam ao núcleo de \( T \), devemos resolver a equação \( T(x, y) = (0, 0) \).
Dado \( T(x, y) = (2x+y, 4x+2y) \), a condição \( T(x, y) = (0, 0) \) resulta nas seguintes equações:
\[ 2x + y = 0 \]
\[ 4x + 2y = 0 \]
Podemos simplificar a segunda equação dividindo por 2:
\[ 2x + y = 0 \]
\[ 2x + y = 0 \]
Como ambas as equações são idênticas, qualquer vetor \( (x, y) \) que satisfaça uma delas também satisfaz a outra. Isso significa que podemos escolher qualquer conjunto de vetores onde cada vetor seja um múltiplo escalar constante do outro.
Vamos verificar cada conjunto fornecido para ver se há dois vetores que são múltiplos escalares entre si e também são soluções para \( T(x, y) = (0, 0) \):
A. {(1,2);(2,3);(3,6)}
- Verificando, nenhum par é múltiplo do outro.
B. NENHUMA DAS ANTERIRORES
- Não podemos decidir sem analisar os conjuntos.
C. {(-1,-2);(-2,-3);(-3,-6)}
- Todos os vetores são múltiplos uns dos outros e são soluções para \( T(x, y) = (0, 0) \).
D. {(1,-2);(2,-3);(-3,6)}
- Nenhum par é múltiplo do outro.
E. {(1,-3);(2,-4);(-3,5)}
- Nenhum par é múltiplo do outro.
Portanto, o único conjunto que possui dois vetores que pertencem ao núcleo de \( T \) é o conjunto:
C. {(-1,-2);(-2,-3);(-3,-6)}