Resposta:
[tex]\displaystyle \lim_{x \to \infty^{-}} \frac{x^{2} + 4x}{x + 3} = \large \text{$\infty$}[/tex]
[tex]\displaystyle \lim_{x \to \infty^{+}} \frac{x^{2} + 4x}{x + 3} = \large \text{$\infty$}[/tex]
Explicação passo a passo:
Olá!
Vamos calcular!
[tex]\displaystyle \lim_{x \to \infty^{-}}\frac{x^{2}+4x}{x+3} \ \ \ \quad \ \ \ \lim_{x \to \infty^{+}}\frac{x^{2}+4x}{x+3}[/tex]
É fácil perceber que temos uma indeterminação, pois ao aplicarmos a substituição direta, chegamos a:
[tex]\displaystyle \frac{x^{2}+4x}{x+3} = \frac{\infty^{2} +4\infty}{\infty +3} = \frac{\infty}{\infty}[/tex]
Temos que escapar da indeterminação.
[tex]\displaystyle \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{4x}{x^{2}}}{\frac{x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}} = \frac{1 + \frac{4}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}[/tex]
Agora podemos aplicar o limite. Observe que, independente de estarmos calculando o limite à esquerda ou à direita, ambos estão em direção ao infinito positivo, ou seja, (+∞).
Então:
[tex]\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{4}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}=[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{1 + \frac{4}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}= \frac{1 + \frac{4}{\infty}}{\frac{1}{\infty} + \frac{3}{\infty^{2}}} = \frac{1 + 0}{0 + 0} = \frac{1}{0} = \infty[/tex]
Também podemos escapar da indeterminação utilizando o Teorema de L'Hopital:
[tex]\displaystyle \frac{\frac{d}{dx}[ x^{2} +4x]}{\frac{d}{dx}[x + 3]} = \frac{2x + 4}{1}[/tex]
[tex]\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 4}{1} =[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{2x + 4}{1} = \frac{2\infty + 4}{1} = \frac{\infty}{1} = \infty[/tex]
Portanto, o limite global existe, pois tanto pela esquerda quanto pela direita o valor do limite é o mesmo, e a resposta é:
[tex]\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 4x}{x + 3} = \bold{ \infty}[/tex]
Anexei o gráfico da função onde podemos ver que a função tende ao infinito quando x cresce em direção ao infinito.
Espero ter lhe ajudado.
