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Resposta:
Pode-se formar 126 números naturais pares, com 3 algarismos distintos, utilizando os algarismos 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 e 9.
Explicação passo-a-passo:
Para nós determinarmos o número de números naturais pares com três algarismos distintos, que podem ser formados com os dígitos 1, 2, 3, 5, 6, 8, 7 e 9, necessitamos seguir os passos abaixo:
Para que o número seja par, o dígito da ordem das unidades deve ser par. Os dígitos pares disponíveis são 2, 6 e 8. Logo, há 3 escolhas para o dígito da ordem das unidades.
Após termos escolhido um dígito para a ordem das unidades, restam 7 dígitos para as ordens das dezenas e das centenas.
Nós precisamos escolher 2 desses 7 dígitos.
Portanto, nós utilizaremos o arranjo simples de 7 elementos tomados 2 a 2:
[tex] A_{7, 2} = \dfrac{7!}{(7 - 2)!} \\ A_{7, 2} = \dfrac{7!}{5!} \\ A_{7, 2} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\ A_{7, 2} = 7 \cdot 6 \\ A_{7, 2} = 42 [/tex]
Portanto, há 42 arranjos possíveis para o preenchimento das outras duas casas.
Como há 3 escolhas para o dígito das unidades e 42 arranjos possíveis para os dígitos das dezenase das centenas, o total de números naturais pares com 3 algarismos distintos será:
[tex] 3 \, \text{ (escolhas para unidade) } \cdot 42 \, \text{ (arranjos dos outros dois dígitos) } = 126 [/tex]
Portanto, o número total de números naturais pares com três algarismos distintos, que podem ser formados com os dígitos 1, 2, 3, 5, 6, 8, 7 e 9, é 126.