Vamos analisar cada opção:
(A) (x2 + 2xy + 4y2) / (x - 2y): Isso representa o quociente de dois binômios, não o produto de polinômios.
(B) (x + 4y)2 / (x - 4y): Isso também não corresponde ao produto dos polinômios fornecidos.
(C) (2x + 2)2 / (x - y): Isso não corresponde ao produto e tem termos extras.
(D) (x + y)2 / (x - y): Esta estrutura sugere uma fatoração potencial.
Agora, vamos olhar para os polinômios dados:
x2 + 14x + 49
x2 - 14x + 49
Ambos os polinômios estão na forma de um trinômio quadrado perfeito, que pode ser fatorado como (x + a)², onde a é uma constante. Neste caso, a = 7 para ambos os polinômios.
Ao multiplicar quadrados perfeitos, podemos usar a seguinte identidade:
(a + b)² * (a - b)² = (a² - b²)²
Aplicando este conceito:
(x + 7)² * (x - 7)² = (x² - 49)²
No entanto, a questão pede o produto fatorado, não o quadrado. Como ambos os polinômios compartilham a mesma forma fatorada (x + 7)², podemos simplesmente remover o fator redundante:
Produto fatorado = (x + 7)²
Portanto, a opção (D) (x + y)² / (x - y) está incorreta porque tem um termo de divisão extra. A resposta correta é simplesmente:
(x + 7)²
