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De acordo com a explicação abaixo, no caso da equação dada, podemos usar o Teorema do Resto para determinar que as soluções são -2, 1 e 3.
Vamos entender o porquê?
Comecemos por esquecer que estamos na presença de uma equação, olhando, em vez disso, para o polinómio [tex]P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6[/tex] . Apesar de não lhe conhecermos nenhum zero, uma vez que é isso que nos pede a questão, podemos começar por fatorizar o polinómio.
Para tal, como não sabemos as suas raízes, vamos usar o Teorema do Resto para descobrir, pelo menos, uma delas. De notar que, por se tratar de um polinómio do 3º grau, este poderá ter, no máximo, 3 raízes reais.
Para isso, vamos começar por olhar para o termo independente (6) e notar que este é divisível por {-3 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 3}.
Vamos, então, calcular o valor do Polinómio usando estes divisores como abcissas:
Neste caso, o Teorema do Resto deu-nos 3 raízes (o máximo que este polinómio poderia ter), pelo que não precisamos de fazer mais nada.
Assim, podemos concluir que a solução da equação é [tex]x\;\in\;\{-2\;;\;1\;;\;3\}[/tex].
Ainda, podemos simplificar o polinómio da seguinte forma:
[tex]P(x)=x^3-2x^2-5x+6=(x+2)(x-1)(x-3)[/tex]
Nota: Caso o Teorema do Resto nos desse apenas 1 raiz do polinómio, poderiamos usar a Regra de Ruffini para continuar a fatorizar o polinómio ou resolvê-lo como uma equação, uma vez que teríamos um polinómio na forma [tex]P(x)=(x-u)(ax^2+bx+c)[/tex]. Neste caso, como todas as raízes eram divisores de 6, o Teorema do Resto permitiu-nos determinar logo todos eles, mas isto não acontece sempre.
Podes ver mais exercícios sobre a divisão de polinómios em:
