Utilizando conceitos de dízimas periódicas, progressões geométricas e álgebra básica, concluímos que a dízima periódica que representa essa soma é igual a [tex]\mathsf{0{,}555\hdots}[/tex] e a fração geratriz que a gera é igual a [tex]\mathsf{\dfrac{5}{9}}[/tex].
Chama-se dízima periódica todo número que ao ser escrito em forma decimal apresenta uma série infinita de algarismos, de tal forma que a disposição apresentada possui uma regularidade, chamada período.
A questão nos indaga sobre a soma:
[tex]\mathsf{S = 0{,}5 + 0{,}05 + 0{,}005 + \hdots}[/tex]
Podemos resolver este problema de duas formas diferentes. Podemos enxergar esta soma como uma soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica, dado que, nesta soma, o quociente entre um termo e seu antecessor é constante e igual a:
[tex]\mathsf{q = \dfrac{a_n}{a_{n - 1}} \Longrightarrow q = \dfrac{0{,}05}{0{,}5} \Longrightarrow q = 0{,}1}[/tex]
Relembremos a fórmula da soma dos infinitos termos de uma P.G. convergente:
[tex]\boxed{\mathsf{\sum_{j = 1}^{\infty} a_j = \dfrac{a_1}{1 - q}, |q| < 1}}[/tex]
Ou seja, para calcular a soma pedida, precisamos de apenas o primeiro termo da sequência ([tex]\mathsf{a_1 = 0{,}5}[/tex]) e a razão da P.G. dada, a qual calculamos e escrevemos que [tex]\mathsf{q = 0{,}1}[/tex].
Aplicando na fórmula dada, temos:
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow a_1 + a_2 + a_3 + \hdots + a_n + \hdots = \dfrac{a_1}{1 - q}}\\\\\mathsf{\Longleftrightarrow 0{,}5 + 0{,}05 + 0{,}005 + \hdots = \dfrac{0{,}5}{1 - 0{,}1}}\\\\\mathsf{\Longleftrightarrow 0{,}5 + 0{,}05 + 0{,}005 + \hdots = \dfrac{0{,}5}{0{,}9}}\\\\\\\boxed{\mathsf{\Longleftrightarrow 0{,}5 + 0{,}05 + 0{,}005 + \hdots = \dfrac{5}{9}}\\\\}[/tex]
Portanto, respondendo o segundo questionamento, chegamos à conclusão de que [tex]\mathsf{0{,}5 + 0{,}05 + 0{,}005 + \hdots = \dfrac{5}{9}}[/tex].
Poderíamos também lançar mão de recursos algébricos, visto que a soma dada é convergente. Chamando de [tex]\mathsf{S}[/tex] a soma pedida, temos:
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow S = 0{,}5 + 0{,}05 + 0{,}005 + \hdots}\\[/tex]
Multiplicando ambos os lados da equação por 10, temos:
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow S = 0{,}5 + 0{,}05 + 0{,}005 + \hdots}\\\mathsf{\Longleftrightarrow 10S = 10(0{,}5 + 0{,}05 + 0{,}005 + \hdots)}\\\mathsf{\Longleftrightarrow 10S = 5 + 0{,}5 + 0{,}05 + \hdots}\\[/tex]
Note que a parcela [tex]\mathsf{0{,}5 + 0{,}05 + 0{,}005 + \hdots = S}\\[/tex], podemos então substituir tal valor na equação:
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow 10S = 5 + \underbrace{\mathsf{0{,}5 + 0{,}05 + \hdots}}_{\mathsf{S}}}\\\mathsf{\Longleftrightarrow 10S = 5 + S}\\[/tex]
Resolvendo a equação para [tex]\mathsf{S}[/tex], temos:
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow 10S = 5 + S}\\\mathsf{\Longleftrightarrow 10S - S = 5 + S - S}\\\mathsf{\Longleftrightarrow 9S = 5}\\\\\mathsf{\Longleftrightarrow \dfrac{9S}{9} = \dfrac{5}{9} }\\\\\boxed{\mathsf{\therefore S = \dfrac{5}{9}}}[/tex]
Assim, chegamos à mesma conclusão de que [tex]\mathsf{0{,}5 + 0{,}05 + 0{,}005 + \hdots = \dfrac{5}{9}}[/tex].
Assim, para sabermos qual a dízima periódica a fração geratriz [tex]\mathsf{\dfrac{5}{9}}[/tex] gera, basta que executemos a divisão de 5 por 9, veja:
[tex]\begin{array}{ll}\sf 5 \hskip 1em \underline{|~9 \hskip 4em} \\ \hskip 0.5em\hskip 0.5em \enspace\\\end{array} \Longrightarrow \begin{array}{ll}\sf 50 \hskip 1em \underline{|~9 \hskip 4em} \\ \hskip 0.5em \sf 45\hskip 0.5em \enspace0{,}555\ldots\\ \hskip 1em \sf 50\\ \hskip 1.5em \sf 45\\ \hskip 2em \sf 50\\ \hskip 2,5em \sf 45\\ \hskip 3em \sf 50\\ \hskip 3.5em \sf 45 \\ \hskip 4em\vdots\end{array}[/tex]
Note que a divisão é infinita, ou seja, nunca chegaremos a uma número inteiro em nosso quociente.
Caso se interesse, acesse para mais conhecimento:
- brainly.com.br/tarefa/1445769.
