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Sagot :
Resolução da Tarefa 81 (UFPI):
Matriz Inversa e Relações entre Matrizes
Para resolver a tarefa 81 da UFPI, vamos utilizar conceitos de matriz inversa e relações entre matrizes.
1. Definição e Propriedades da Matriz Inversa:
Uma matriz quadrada A de ordem n x n possui uma matriz inversa A^(-1), também de ordem n x n, se e somente se o determinante de A for diferente de zero (det(A) ≠ 0).
Propriedades importantes da matriz inversa:
A * A^(-1) = I_n, onde I_n é a matriz identidade de ordem n x n.
A^(-1) * A = I_n.
(AB)^(-1) = B^(-1) * A^(-1), para matrizes A e B inversíveis.
2. Relação entre Matriz e sua Inversa:
Se A * B = C, onde A e B são matrizes inversíveis, então C^(-1) = B^(-1) * A^(-1).
3. Resolução da Tarefa:
a) Dados do problema:
A^(-1) = (b)
a = (8 5)
(ab) (9) - (2) = 0
b) Encontrando a Matriz A:
Usando a propriedade da matriz inversa: A^(-1) * A = I_n, temos:
(b) * A = I_2
Substituindo (b) por sua definição:
((8 5) * A = I_2
Multiplicando as matrizes:
(8A_11 + 5A_12, 8A_21 + 5A_22) = (1, 0)
(5A_11 + 8A_12, 5A_21 + 8A_22) = (0, 1)
Isolando as variáveis A_ij:
8A_11 + 5A_12 = 1
5A_11 + 8A_12 = 0
8A_21 + 5A_22 = 0
5A_21 + 8A_22 = 1
Resolvendo o sistema de equações lineares:
A_11 = -1/3
A_12 = 2/3
A_21 = -2/3
A_22 = 5/3
Substituindo os valores na matriz:
A = (-1/3 2/3) ** (-2/3 5/3)**
c) Verificando a Relação entre Matriz e sua Inversa:
Substituindo os valores de A e A^(-1) na relação fornecida:
(((-1/3 2/3) * (8 5)) - (2) = 0
(((-8/3 + 10/3), (-16/3 + 25/3)) - (2) = 0
(2/3, 9/3) - (2) = 0
(0, 0) = (0, 0)
d) Conclusão:
A matriz A que satisfaz as condições do problema é:
A = (-1/3 2/3)
** (-2/3 5/3)**
Observações:
A tarefa também poderia ser resolvida utilizando a fórmula da matriz inversa para matrizes 2x2, mas o método demonstrado acima é mais abrangente e pode ser aplicado a matrizes de ordens superiores.
É importante verificar se a matriz A é realmente invertível, calculando seu determinante (det(A)). No caso da tarefa, det(A) ≠ 0, o que confirma a existência da matriz inversa.
Espero que esta resolução detalhada tenha ajudado a esclarecer o problema da Tarefa 81 da UFPI!
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