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Sagot :
(Tarefa— 60905387)
Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de sistema de inequações que
S={x∈ℝ/x<-√3 ou x>1+√5}✅
Função quadrática
Chama-se função quadrática a toda função que assume a forma f(x)=ax²+bx+c onde a,b e c são números reais com a≠0. O gráfico de desta função é uma curva que se chama parábola. Para obter o gráfico precisamos das seguintes informações:
- intersecção com eixo x (faça y=0 e resolva a equação)
- intersecção com o eixo y (faça x=0)
- coordenadas do vértice
Os zeros ou raízes da função dependem do sinal do discriminante [tex]\Delta[/tex].
- Se [tex]\rm\Delta > 0[/tex] a função possui duas raízes reais distintas e a parábola intercepta o eixo x em dois pontos.
- [tex]\rm\Delta=0[/tex] a função possui uma única raíz real e a parábola tangência o eixo x
- [tex]\rm\Delta < 0[/tex] a função não possui raízes reais e a parábola não intercepta o eixo x
Estudo do sinal da função quadrática
Para fazer o estudo do sinal de qualquer função quadrática precisamos de duas coisas:
- As raízes (caso existam)
- O formato da parábola
Diante disso basta providenciar um esboço do gráfico e verificar para quais valores f(x)>0 ou f(x)<0.
Sistema de inequações
São sistemas em que se apresentam mais de uma inequação. O conjunto solução de uma inequação é obtido fazendo a intersecção dos intervalos dos conjunto solução.
✍️Vamos a resolução do exercício
Aqui devemos resolver o sistema de inequações
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\begin{cases}\sf -x^2+4 < -2x~I\\\sf -x^2+4 > 1~II\end{cases}\end{array}}}[/tex]
Resolvendo I:
Vamos escrever a inequação dada de forma conveniente e depois interpretar a inequação como função e assim assinalar o intervalo em que a mesma será estritamente negativa através do estudo do sinal.
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\sf -x^2+4 < -2x\\\sf -x^2+2x+4 < 0\\\sf p(x)=-x^2+2x+4\end{array}}}[/tex]
[tex]\large{\boxed{\begin{array}{l}\sf -x^2+2x+4=0\\\sf\Delta=b^2-4ac\\\sf\Delta=2^2-4\cdot(-1)\cdot4\\\sf\Delta=4+16\\\sf\Delta=20\\\sf x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\sf x=\dfrac{-2\pm\sqrt{20}}{2\cdot(-1)}\\\\\sf x=\dfrac{-2\pm2\sqrt{5}}{-2}\begin{cases}\sf x_{_1}=\dfrac{-2+2\sqrt{5}}{-2}=\dfrac{-\bigg/\!\!\!\!2(1-\sqrt{5})}{-\bigg/\!\!\!\!2}=1-\sqrt{5}\\\\\sf x_{_2}=\dfrac{-2-2\sqrt{5}}{-2}=\dfrac{-\bigg/\!\!\!\!2(1+\sqrt{5})}{-\bigg/\!\!\!\!2}=1+\sqrt{5}\end{cases}\end{array}}}[/tex]
Perceba que a concavidade de p(x) é para baixo e o intervalo em que a função é estritamente negativa será
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf p(x) < 0\iff x < 1-\sqrt{5}~ou~x > 1+\sqrt{5}\\\sf S_{_{I}}=\{x\in\mathbb{R}/x < 1-\sqrt{5}~ou~x > 1+\sqrt{5}\}\end{array}}}[/tex]
Resolvendo II:
Vamos escrever a inequação de modo conveniente, interpretá-la como uma função e assinalar o intervalo em que a mesma será estritamente positiva através do estudo do sinal.
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\sf -x^2+4 > 1\\\sf -x^2+4-1 > 0\\\sf -x^2+3 > 0\\\sf q(x)=-x^2+3\end{array}}}[/tex]
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf -x^2+3=0\\\sf -x^2=-3\cdot(-1)\\\sf x^2=3\\\sf x=\pm\sqrt{3}\end{array}}}[/tex]
Perceba que a concavidade de q(x) é para cima e portanto o intervalo desejado será
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\sf q(x) > 0\iff x < -\sqrt{3}~ou~x > \sqrt{3}\\\sf S_{_{II}}=\{x\in\mathbb{R}/x < -\sqrt{3}~ou~x > \sqrt{3}\}\end{array}}}[/tex]
Fazendo a intersecção das duas condições (veja anexo), podemos concluir que o conjunto solução do sistema será
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf S=\{x\in\mathbb{R}/x < -\sqrt{3}~~ou~x > 1+\sqrt{5}\}\end{array}}}[/tex]
✏️saiba mais em:
- brainly.com.br/tarefa/48964915
- brainly.com.br/tarefa/41449715
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