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Sagot :
Usando um Método de Fatoração do polinômio, obtém-se:
[tex]\large\text{$ \sf 2\cdot (x+1) \cdot(x) \cdot(x-\dfrac{3}{2} )$}[/tex]
( ver gráfico em anexo 2 )
Estou a gravar aos poucos a resposta para não perder nada por problemas com ligação com Brainly por causa da minha ligação à internet.
Vou continuar a responder
Para Moderadores
Agradeço que não apaguem esta resposta parcial.
Obrigado
A resolução deste exercício pode ser feita apenas com a decomposição em fatores.
Repare-se que tem-se um trinômio ( três monômios ) e que todos eles têm em comum o "x"
[tex]\LARGE\text{$2x^3-x^2-3x$}[/tex]
Vai ser colocado de forma que seja bem claro o que é comum em cada monômio.
[tex]\Large\text{$2\cdot x\cdot x \cdot x-x\cdot x-3\cdot x$}[/tex]
Colocar em evidência o fator comum "x".
Ele vai ficar em evidência a multiplicar monômios dentro de um parêntesis.
[tex]\Large\text{$x\cdot(\dfrac{2\cdot x\cdot x \cdot x}{x} -\dfrac{x\cdot x}{x} -\dfrac{3\cdot x}{x} )$}[/tex]
Porque se divide dentro do parêntesis?
Se apenas multiplicasse por "x" o trinômio original o resultado seria um outro trinômio mas não equivalente ao inicial.
Assim multiplicando e dividindo pelo mesmo valor tem-se a certeza de que se fica com outra expressão equivalente à inicial.
[tex]\Large\text{$x\cdot(2\cdot x\cdot x -x -3 )$}[/tex]
Ou
[tex]\Large\text{$x\cdot(2x^2 -x -3 )$}[/tex]
Para encontrar as raízes iguala-se a zero esta Equação Produto.
Pela Lei do Anulamento do Produto:
- quando se tem um produto, de vários fatores, igual diz a Matemática e o bom senso que pelo menos um desses fatores é nulo
[tex]\Large\text{$x\cdot(2x^2 -x -3 )=0$}[/tex]
[tex]\Large\text{$x=0~~~~~~ ou~~~~~~2x^2 -x -3=0$}[/tex]
Na segunda parte tem-se uma Equação do Segundo Grau.
- Resolve-se com a Fórmula Resolutiva ( Bhaskara )
[tex]\Large\text{$ \sf x = \dfrac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$}[/tex] ou [tex]\Large\text{$ \sf x = \dfrac{-b \pm \sqrt {\Delta}}{2a}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$2x^2 -x -3=0$}[/tex]
Recolher informação
[tex]\Large\text{$a=2$}[/tex]
[tex]\Large\text{$b=-1$}[/tex]
[tex]\Large\text{$c=-3$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\Delta=b^2-4ac$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\Delta=(-1)^2-4\cdot 2 \cdot (-3)=1+24=25$}[/tex]
[tex]\Large\text{$\sqrt{\Delta} =\sqrt{25}=5 $}[/tex]
Usar esta versão pois já se calculou o Binómio Discriminante ( [tex]\Large\text{$ \sf \Delta$}[/tex] )
[tex]\Large\text{$ \sf x = \dfrac{-b \pm \sqrt {\Delta}}{2a}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{-(-1) +5}{2\cdot 2}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{+1+5}{4}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{6}{4}$}[/tex]
Pode ser simplificada dividindo por 2 , o numerador e o denominador, pois eles estão na tabuada do 2.
[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{6\div 2}{4\div 2}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{1} = \dfrac{3}{2}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{2} = \dfrac{-(-1) -5}{2\cdot 2}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{2} = \dfrac{+1 -5}{4}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{2} = \dfrac{ -4}{4}$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf x_{2} = -1$}[/tex]
No anexo 1 está o gráfico de:
[tex]\Large\text{$2x^2 -x -3=0$}[/tex]
Já se tem as três raízes:
[tex]\Large\text{$ \sf S=\{~-1~{;}~0~{;}~\dfrac{3}{2} ~\}$}[/tex]
Quando se conhece as raízes de uma expressão ela pode ser escrita da seguinte maneira
[tex]\Large\text{$ \sf a\cdot (x-x_{1}) \cdot(x-x_{2}) \cdot(x-x_{3})$}[/tex]
Onde:
[tex]\LARGE\text{$ \sf x_{1}~{;}~x_{2}~{;}~x_{3}$}[/tex]
- São as raízes neste caso do trinómio
[tex]\Large\text{$ \sf a$}[/tex]
O coeficiente do termo com maior grau
[tex]\Large\text{$ \sf 2\cdot (x-(-1)) \cdot(x-0) \cdot(x-\dfrac{3}{2} )$}[/tex]
[tex]\Large\text{$ \sf 2\cdot (x+1) \cdot(x) \cdot(x-\dfrac{3}{2} )$}[/tex]
( ver gráfico anexo 2 polinômio fatorado )
E ainda para o polinômio na forma original:
[tex]\LARGE\text{$2x^3-x^2-3x$}[/tex]
o gráfico polinômio original em anexo 3.
O gráfico anexo 2 ( polinômio fatorado )
e
O gráfico anexo 3 ( polinômio original )
São exatamente iguais
O que mostra que a fatoração foi bem feita.
Saber mais com Brainly:
https://brainly.com.br/tarefa/18718478
Bons estudos.
Duarte Morgado
( Mestre em Matemática }
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[tex](\cdot)[/tex] multiplicação
Nas minhas respostas , que são originais , mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.
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