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Sagot :
Resposta:
Explicação passo a passo:
Para calcular a soma dos três produtos notáveis \((x+a)^3 (x-a)^3\), podemos usar a identidade de produtos notáveis.
Primeiro, observe que podemos reescrever a expressão como:
\[
[(x+a)(x-a)]^3 = (x^2 - a^2)^3
\]
Agora, utilizamos a fórmula do cubo:
\[
u^3 = u^3 \quad \text{(onde \(u = x^2 - a^2\))}
\]
Expandindo isso, temos:
\[
u^3 = (x^2 - a^2)^3 = (x^2)^3 - 3(x^2)^2(a^2) + 3(x^2)(a^2)^2 - (a^2)^3
\]
Substituindo \(u\) de volta, obtemos:
\[
(x^2 - a^2)^3 = x^6 - 3x^4a^2 + 3x^2a^4 - a^6
\]
Portanto, a soma dos três produtos notáveis é:
\[
x^6 - 3x^4a^2 + 3x^2a^4 - a^6
\]
Para calcular a soma dos três produtos notáveis[tex]\((x + a)^3\) e \((x - a)^3\),[/tex]primeiro expandimos cada um dos termos individualmente usando o binômio de Newton.
1. Expansão de[tex]\((x + a)^3\):[/tex]
[tex]\[ (x + a)^3 = x^3 + 3x^2a + 3xa^2 + a^3 \][/tex]
2. Expansão de [tex]\((x - a)^3\):[/tex]
[tex]\[ (x - a)^3 = x^3 - 3x^2a + 3xa^2 - a^3 \][/tex]
Agora, somamos as duas expressões expandidas:
[tex]\[(x + a)^3 + (x - a)^3 = (x^3 + 3x^2a + 3xa^2 + a^3) + (x^3 - 3x^2a + 3xa^2 - a^3)\][/tex]
Somamos os termos semelhantes:
[tex]\[(x + a)^3 + (x - a)^3 = x^3 + 3x^2a + 3xa^2 + a^3 + x^3 - 3x^2a + 3xa^2 - a^3\][/tex]
Observamos que alguns termos se cancelam:
[tex]\[= x^3 + x^3 + 3xa^2 + 3xa^2\][/tex]
Portanto:
[tex]\[(x + a)^3 + (x - a)^3 = 2x^3 + 6xa^2\][/tex]
Essa é a soma dos três produtos notáveis [tex]\((x + a)^3\) e \((x - a)^3\).[/tex]
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