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Sagot :
(Tarefa— 60938198)
Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de derivada que a resposta é opção 2 ✅
Definição de derivada
Derivada é a inclinação da reta tangente ou ainda é o limite de retas secantes traçadas ao longo de uma curva de modo que a distância entre a curva e a reta se aproximem de zero. Observe o anexo para melhor entender.
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\rm f'(x)=\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{array}}}[/tex]
Regras básicas de derivação
A definição de derivada nos mostra como obter a inclinação da reta tangente. Entretanto o cálculo do limite em muitas situações torna-se cansativo e tedioso. Por esta razão definem-se as regras básicas para a derivação afim de obter mais facilmente o cálculo da derivada da função.Todas as fórmulas a seguir podem ser demonstradas a partir da definição de derivada.
- Derivada da constante
[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\rm\dfrac{d}{dx}(k)=0\end{array}}[/tex]
- Derivada da soma/ diferença
[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\rm\dfrac{d}{dx}[f(x)\pm g(x)]=\dfrac{d}{dx}f(x)\pm\dfrac{d}{dx}g(x)\end{array}}[/tex]
- Derivada do produto
[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\rm\dfrac{d}{dx}[f(x)\cdot g(x)]=\dfrac{d}{dx}[f(x)]\cdot g(x)+f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}[g(x)]\end{array}}[/tex]
- Derivada do quociente
[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\rm\dfrac{d}{dx}\bigg[\dfrac{f(x)}{g(x)}\bigg]=\dfrac{\dfrac{d}{dx}f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot\dfrac{d}{dx}g(x)}{g(x)^2}\end{array}}[/tex]
- Derivada da potência
[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\rm\dfrac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}\end{array}}[/tex]
- regra da cadeia
Se y é uma função diferenciável de u e se u é uma função diferenciável de x, então y é uma função diferenciável de x e
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\rm\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\end{array}}}[/tex]
ou ainda
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\rm f[g(x)]'=f'[g(x)]\cdot g'(x)\end{array}}}[/tex]
Derivada da função exponencial de base e
Basta fazer o produto da exponencial vezes a derivada do expoente
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\rm\dfrac{d}{dx}(e^u)=e^u\cdot\dfrac{du}{dx}\end{array}}}[/tex]
Derivada do logaritmo natural
A derivada do logaritmo natural é igual ao recíproco do argumento vezes a derivada do argumento.
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\rm\dfrac{d}{dx}[\ln u]=\dfrac{1}{u}\cdot\dfrac{du}{dx}\end{array}}}[/tex]
✍️Vamos a resolução do exercício
I Aqui vamos utilizar a regra da potência em conjunto com derivada da constante.
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf f(x)=x^3-4\\\sf f'(x)=3x^{3-1}-0\\\sf f'(x)=3x^2\end{array}}}[/tex]
II Aqui vamos utilizar a regra da cadeia em conjunto com a derivada do logaritmo natural.
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf f(x)=\ln(x^2-2)\\\sf f'(x)=\dfrac{1}{x^2-2}\cdot(x^2-2)'\\\\\sf f'(x)=\dfrac{1}{x^2-2}\cdot2x\\\\\sf f'(x)=\dfrac{2x}{x^2-2}\end{array}}}[/tex]
III Aqui vamos utilizar a derivada da função exponencial
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf f(x)=e^3\\\sf f'(x)=e^3\cdot(3)'\\\sf f'(x)=e^3\cdot0\\\sf f'(x)=0\end{array}}}[/tex]
IV Aqui vamos utilizar a regra do produto em conjunto com a derivada da potência
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf f(x)=x^2(2x+5)\\\sf f'(x)=2x\cdot(2x+5)+x^2\cdot(2)\\\sf f'(x)=4x^2+10x+2x^2\\\sf f'(x)=6x^2+10x\end{array}}}[/tex]
Agora vamos julgar os itens:
I f(x)=x³-4 f'(x)=3x² está correta✅
II f(x)=㏑(x²-2) f'(x)=㏑2x está incorreta
III f(x)=e³ f'(x)=3e² está incorreta pois e³ é uma constante cuja derivada é 0.
IV f(x)=x².(2x+5) f'(x)=6x²+10x está correta ✅
Portanto a resposta é opção 2).
✏️saiba mais em:
- brainly.com.br/tarefa/60904646
- brainly.com.br/tarefa/58854270
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