Nós temos a equação:
[tex][ \left( x + \frac{1}{x} \right) = 1 ][/tex]
E precisamos encontrar o valor de:
[tex]\[ \left( x^6 + \frac{1}{x^6} \right) \][/tex]
Primeiro passo: Vamos chamar.
[tex]\( y = \left( x + \frac{1}{x} \right) \)[/tex]
De acordo com a equação dada, ( y = 1 ).
Segundo passo: Usando a identidade para potências, sabemos que:
[tex]\[ y^2 = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \][/tex]
Como ( y = 1 ), temos:
[tex]\[ 1^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \] \\ \[ 1 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \] \\ \[ -1 = x^2 + \frac{1}{x^2} \][/tex]
Então:
[tex]\[ x^2 + \frac{1}{x^2} = -1 \][/tex]
Terceiro passo: Usando a mesma lógica para a próxima potência, sabemos que:
[tex]\[ (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} \][/tex]
Como
[tex]\( x^2 + \frac{1}{x^2} = -1 \)[/tex]
Temos:
[tex]\[ (-1)^2 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} \] \\ \[ 1 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} \] \\ \[ -1 = x^4 + \frac{1}{x^4} \][/tex]
Então:
[tex]\[ x^4 + \frac{1}{x^4} = -1 \][/tex]
Quarto passo: Agora, vamos para a potência que queremos, que é:
[tex]\( x^6 + \frac{1}{x^6} \)[/tex]
[tex]\[ (x^2 + \frac{1}{x^2})(x^4 + \frac{1}{x^4}) = x^6 + \frac{1}{x^6} + x^2 + \frac{1}{x^2} \][/tex]
Substituindo os valores que encontramos:
[tex]\[ (-1)(-1) = x^6 + \frac{1}{x^6} + (-1) \] \\ \[ 1 = x^6 + \frac{1}{x^6} - 1 \] \\ \[ 1 + 1 = x^6 + \frac{1}{x^6} \] \\ \[ 2 = x^6 + \frac{1}{x^6} \][/tex]
Gabarito: B) 2
Bons estudos!!
