Rebecaestivaletesancidn
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Agradeço muito a que ajudar? Obrigada
Duas turmas, cada uma de 20 trabalhadores, foram encarregadas de serviços iguais com início simultâneo. Mas exclusivamente devido a dificuldades dos trabalhos, percebe-se que enquanto uma turma avançou 3/8 do trabalho e a outra avançou 5/7. Quantos operários deve-se retirar de uma e pôr na outra, para que os trabalhos fiquem prontos no mesmo tempo? Resp. 15

Sagot :

Resposta:

Explicação passo a passo:

Para resolver esse problema, vamos calcular quantos operários devem ser transferidos de uma turma para outra de forma que ambas terminem o trabalho ao mesmo tempo.

Vamos denotar:

   T1​: número inicial de operários na primeira turma.

   T2​: número inicial de operários na segunda turma.

   3/8​: fração do trabalho realizado pela primeira turma.

   5/7​: fração do trabalho realizado pela segunda turma.

Inicialmente, cada turma tem 20 operários, então T1=20T1​=20 e T2=20T2​=20.

A quantidade de trabalho que cada turma ainda precisa realizar é:

Para a primeira turma: 1−3/8=5/8  1−8/3​=8/5​.

Para a segunda turma: 1−5/7=2/7    1−7/5​=7/2​.

Vamos determinar o número de operários que devem ser transferidos para que ambas terminem ao mesmo tempo.

Seja xx o número de operários transferidos da primeira para a segunda turma.

Após a transferência, os números de operários ficarão:

   Na primeira turma: T1−x

   Na segunda turma: T2+x

Queremos que a quantidade de trabalho realizado por ambas turmas seja igual ao trabalho total 11.

Para a primeira turma, a fração de trabalho realizado será:

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Vamos resolver o problema passo a passo.

1. Determine a taxa de trabalho de cada turma:

Seja [tex]\( T \)[/tex] o total de trabalho a ser realizado.

  • A primeira turma, com 20 trabalhadores, completou [tex]\(\frac{3}{8}\)[/tex] do trabalho.

 Portanto, a quantidade de trabalho que a primeira turma completou é [tex]\(\frac{3}{8}T\).[/tex]

  • A segunda turma, também com 20 trabalhadores, completou [tex]\(\frac{5}{7}\)[/tex] do trabalho.

 Portanto, a quantidade de trabalho que a segunda turma completou é [tex]\(\frac{5}{7}T\).[/tex]

2. Calcule a quantidade de trabalho restante para cada turma:

  • Para a primeira turma:

[tex]\[ \text{Trabalho restante} = T - \frac{3}{8}T = \frac{5}{8}T \][/tex]

  • Para a segunda turma:

[tex]\[ \text{Trabalho restante} = T - \frac{5}{7}T = \frac{2}{7}T \][/tex]

3. Determine o tempo restante para a conclusão de cada turma:

Vamos usar a variável [tex]\( t \)[/tex] para representar o tempo que falta para completar o trabalho.

Seja [tex]\( r_1 \)[/tex] a taxa de trabalho da primeira turma e [tex]\( r_2 \)[/tex] a taxa de trabalho da segunda turma. A taxa de trabalho é a fração de trabalho completado por trabalhador em uma unidade de tempo.

  • Para a primeira turma:

[tex]\[ r_1 = \frac{\frac{5}{8}T}{t} \text{ onde } r_1 = \text{taxa de trabalho por trabalhador} \][/tex]

  • Para a segunda turma:

[tex]\[ r_2 = \frac{\frac{2}{7}T}{t} \text{ onde } r_2 = \text{taxa de trabalho por trabalhador} \][/tex]

4. Ajuste o número de trabalhadores:

Suponha que retiramos [tex]\( x \)[/tex] trabalhadores da primeira turma e adicionamos [tex]\( x \)[/tex] trabalhadores na segunda turma. Então:

  • A primeira turma terá [tex]\( 20 - x \)[/tex] trabalhadores.
  • A segunda turma terá [tex]\( 20 + x \)[/tex] trabalhadores.

O tempo necessário para completar o trabalho restante para ambas as turmas deve ser o mesmo.

Para a primeira turma:

 [tex]\[ \text{Nova taxa de trabalho} = \frac{20 - x}{20} r_1 \][/tex]

[tex]\[ \frac{5}{8}T = \left(\frac{20 - x}{20}\right) \frac{T}{t} \][/tex]

Para a segunda turma:

[tex]\[ \text{Nova taxa de trabalho} = \frac{20 + x}{20} r_2 \][/tex]

[tex]\[ \frac{2}{7}T = \left(\frac{20 + x}{20}\right) \frac{T}{t} \][/tex]

Igualando os tempos necessários para as duas turmas:

[tex]\[ \frac{\frac{5}{8}T}{\frac{20 - x}{20} r_1} = \frac{\frac{2}{7}T}{\frac{20 + x}{20} r_2} \][/tex]

Simplificando e resolvendo para [tex]\( x \):[/tex]

[tex]\[ \frac{\frac{5}{8}}{\frac{20 - x}{20}} = \frac{\frac{2}{7}}{\frac{20 + x}{20}} \][/tex]

[tex]\[ \frac{5 \cdot 20}{8 \cdot (20 - x)} = \frac{2 \cdot 20}{7 \cdot (20 + x)} \][/tex]

 [tex]\[ \frac{100}{160 - 8x} = \frac{40}{140 + 7x} \][/tex]

[tex]\[ 100 \cdot (140 + 7x) = 40 \cdot (160 - 8x) \][/tex]

[tex]\[ 14000 + 700x = 6400 - 320x \][/tex][tex]\[ 1020x = -7600 \][/tex]

[tex]\[ x = 15 \][/tex]

Então, deve-se retirar 15 trabalhadores da primeira turma e adicionar 15 trabalhadores na segunda turma para que ambos os trabalhos sejam concluídos ao mesmo tempo.

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