(Tarefa— 61004767)
Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de pirâmide que V=25√133 cm³✅
Pirâmide
Chama-se pirâmide ao sólido geométrico em que as faces são triângulares e a base é formada por um polígono regular. Denotando por [tex]\ell[/tex] a aresta lateral por [tex]\rm a_p[/tex] o apótema da pirâmide, por m o apótema da base, por h a altura da pirâmide e por a a aresta da base
temos seguintes seguintes relações (veja anexo II):
- Relação entre apótema da pirâmide,apótema da base e altura:
[tex]\huge{\boxed{\begin{array}{l}\rm a_p^2=h^2+m^2\end{array}}}[/tex]
- Relação entre aresta lateral, apótema da pirâmide e aresta da base:
[tex]\huge{\boxed{\begin{array}{l}\rm \ell^2=a_p^2+\bigg(\dfrac{a}{2}\bigg)^2\end{array}}}[/tex]
Sendo n o número de faces da pirâmide temos:
[tex]\huge{\boxed{\begin{array}{l}\rm A_{l}=n\cdot\dfrac{1}{2}\cdot a_p\cdot h\end{array}}}[/tex]
[tex]\huge{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\rm A_t=B+A_{l}\end{array}}}[/tex]
Em que B representa a área da base da pirâmide.
[tex]\huge{\boxed{\begin{array}{l}\rm V=\dfrac{1}{3}\cdot B\cdot h\end{array}}}[/tex]
✍️Vamos a resolução do exercício
Observe a figura que anexei. Vamos calcular o apótema da pirâmide pelo teorema de Pitágoras
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\begin{cases}\sf a_p=?\\\\\sf \ell=12\,cm\\\\\sf\dfrac{a}{2}=5\,cm\end{cases}\\\\\sf a_p^2+\bigg(\dfrac{a}{2}\bigg)^2=\ell^2\\\\\sf a_p^2+5^2=12^2\\\\\sf a_p^2+25=144\\\\\sf a_p^2=144-25\\\\\sf a_p^2=119\\\\\sf a_p=\sqrt{119}\,cm\end{array}}}[/tex]
Vamos calcular o apótema da base:
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\sf m=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\\\\\sf m=\dfrac{10\sqrt{3}}{6}\\\\\sf m=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\,cm\end{array}}}[/tex]
Vamos calcular a altura pelo teorema de Pitágoras:
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\begin{cases}\sf h=?\\\\\sf m=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\,cm\\\\\sf a_p=\sqrt{119}\,cm\end{cases}\\\sf h^2+m^2=a_p^2\\\sf h^2+\bigg(\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\bigg)^2=119\\\\\sf h^2+\dfrac{75}{4}=119\cdot4\\\\\sf 4h^2+75=476\\\sf h^2=476-75\\\sf h^2=399\\\sf h=\sqrt{399}\,cm\end{array}}}[/tex]
Vamos calcular a área da base:
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\sf B=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\\\\\sf B=\dfrac{10^2\sqrt{3}}{4}\\\\\sf B=\dfrac{100\sqrt{3}}{4}\\\\\sf B=25\sqrt{3}\,cm^2\end{array}}}[/tex]
Cálculo do volume
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf V=\dfrac{1}{3}\cdot B\cdot h\\\\\sf V=\dfrac{1}{3}\cdot25\sqrt{3}\sqrt{399}\\\\\sf V=\dfrac{1}{3}\cdot 25\sqrt{3\cdot399}\\\\\sf V=\dfrac{1}{3}\cdot25\cdot\sqrt{3\cdot3\cdot133} \\\\\sf V=\dfrac{1}{3}\cdot25\sqrt{3^2\cdot133}\\\\\sf V=\dfrac{1}{\bigg/\hspace{-0.4cm}3}\cdot 25\cdot\bigg/\hspace{-0.4cm}3\sqrt{133}\\\\\sf V=25\sqrt{133}\,cm^3\end{array}}}[/tex]
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