(Tarefa— 61005579)
Após a realização dos cálculos ✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de tangente da diferença que a resposta é letra b ✅
Redução ao primeiro quadrante
Reduzir ao primeiro quadrante é encontrar as funções circulares do arco que sejam iguais em módulo as do primeiro quadrante.
A noção de simetria na circunferência trigonométrica se faz necessária. Para isso temos dois arcos que são usados para referência na hora da redução:
- arco de 180°: fica presente entre os 90° e 270°
- arco de 360°: fica presente entre os arcos de 270° e 360°
Agora é importante observar que as funções circulares são positivas em determinados quadrantes e negativos em outros.
Existe um macete para memorizar facilmente onde as 3 principais funções trigonométricas (seno,cosseno e tangente) são positivas.
É chamado de SETACO presente na tabela abaixo:
[tex]\Large\boxed{\begin{array}{c|c|c}\rm SE&\rm TA&\rm CO\\\rm 12&\rm13&\rm14\end{array}}[/tex]
isso significa que o seno é positivo no 1° e 2° quadrantes, o cosseno é positivo no 1° e 4° quadrantes e a tangente é positiva no 1° e 3° quadrantes.
Para achar o valor correto da função trigonométrica de um arco precisamos saber em que quadrante ele se encontra.
- Se o arco está entre 0° e 90° está no 1° quadrante
- Se o arco está entre 90° e 180° está no 2° quadrante
- Se o arco está entre 180° e 270° está no 3° quadrante
- Se o arco está entre 270° e 360° está no 4° quadrante.
daí procedemos assim para realizar a redução ao primeiro quadrante:
- arco do 2° quadrante: 180- o arco
- arco do 3° quadrante: arco - 180°
- arco do 4° quadrante: 360°- arco
exemplos:
1) um arco de 140° está no 2° quadrante e reduzindo ao 1° quadrante fica 180°-140°=40° ou seja em módulo um arco de 140° é igual ao arco de 40°
2) Um arco de 230° está no 3° quadrante e reduzindo ao 1°quadrante fica 230°-180°=50° , ou seja, em módulo um arco de 230° é igual ao arco de 50°
3) Um arco de 305° está no 4° quadrante e reduzindo ao primeiro quadrante fica 360°-305°=55°, isto é, em módulo arco de 305° é igual ao arco de 55°.
Tabela de arcos notáveis completa
Quando estuda-se trigonometria no triângulo retângulo aprendemos a calcular o valor de seno,cosseno e tangente dos ângulos de 30°,45° e 60° e demos o nome deles de ângulos notáveis. Agora com a noção de funções circulares ,além de colocar estes ângulos no nosso repertório, entrarão outros que também são importantes e que estão associados a intersecção da circunferência com os eixos coordenados. Estes novos arcos serão de 0°,90°,180°,270° e 360° com seus respectivos valores. Acompanhe a tabela abaixo
[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}&\rm0^\circ&\rm30^\circ&\rm 45^\circ&\rm60^\circ&\rm90^\circ&\rm180^\circ&\rm270^\circ&\rm360^\circ\\\\\rm sen&\rm0&\rm\dfrac{1}{2}&\rm\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\rm\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\rm1&\rm0&\rm-1&\rm0\\\\\rm cos&\rm1&\rm\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\rm\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\rm\dfrac{1}{2}&\rm0&\rm-1&\rm0&\rm1\\\\\rm tg&\rm0&\rm\dfrac{\sqrt{3}}{3}&\rm1&\rm\sqrt{3}&\rm\not\!\exists&\rm0&\rm\not\!\exists&\rm0\end{array}\end{array}}[/tex]
Tangente da diferença
Sejam a e b dois arcos quaisquer que pertencem ao ciclo trigonométrico. A tangente da diferença entre esses dois arcos é dada por
[tex]\huge{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\rm tg(a-b)=\dfrac{tg(a)-tg(b)}{1+tg(a)\cdot tg(b)}\end{array}}}[/tex]
✍️Vamos a resolução do exercício
Observe que na figura o ângulo que devemos utilizar para calcular a altura é suplementar ao ângulo α. Perceba que altura BC representa o cateto oposto ao ângulo suplementar de α e o segmento AB representa o cateto adjacente ao mesmo ângulo. Vamos calcular a tangente do ângulo suplementar levando em conta a tabela de arcos notáveis completa já discutida anteriomente:
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\sf tg(180^\circ-\alpha)=\dfrac{tg(180^\circ)-tg(\alpha)}{1+tg(180^\circ)\cdot tg(\alpha)}\\\\\sf tg(180^\circ-\alpha)=\dfrac{0-tg(\alpha)}{1+0\cdot tg(\alpha)}\\\\\sf tg(180^\circ-\alpha)=\dfrac{-tg(\alpha)}{1}\\\\\sf tg(180^\circ-\alpha)=-tg(\alpha)\end{array}}}[/tex]
Agora vamos utilizar a definição de tangente para representar a altura em função da tangente do suplemento finalizando assim o exercício.
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf tg(180^\circ-\alpha)=\dfrac{co}{ca}\\\\\sf-tg(\alpha)=\dfrac{h}{30}\\\\\sf h=-30tg(\alpha)\end{array}}}[/tex]
✏️saiba mais em:
- brainly.com.br/tarefa/59827225
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