Olá, Bixo.
[tex]2\text{sen}^2(x)+7\text{sen }x+3\leq 0[/tex]
Façamos a seguinte mudança de variável, de forma a facilitar a solução:
[tex]\text{sen }x=y\Rightarrow2y^2+7y+3\leq 0[/tex]
O polinômio [tex]2y^2+7y+3[/tex] possui duas raízes, pela Fórmula de Bhaskara:
[tex]\boxed{y_1=-\frac{1}{2}\text{ e }y_2=-3}[/tex]
Como este polinômio é uma parábola com a concavidade para cima, uma vez que o termo que acompanha [tex]y[/tex] é positivo, então, entre as raízes temos:
[tex]2y^2+7y+3\leq0 \Rightarrow -3 \leq y \leq -\frac12\Rightarrow-3\leq \text{sen }x \leq -\frac12[/tex]
Como a função sen(x) possui domínio limitado ao intervalo [-1,1], então devemos ter:
[tex]-1\leq \text{sen }x \leq -\frac12\Rightarrow \text{arcsen }(-1)\leq x\leq\text{arcsen }(-\frac12)[/tex]
[tex]\therefore \frac{3\pi}2 \leq x \leq \frac{11\pi}6\text{ ou }\frac{7\pi}6 \leq x \leq \frac{3\pi}2 \Rightarrow\boxed{\frac{7\pi}6 \leq x \leq\frac{11\pi}6}[/tex]
Lembrando que:
[tex]\frac{7\pi}6=\pi+\frac\pi 6\text{ e }\frac{11\pi}6=2\pi-\frac\pi 6[/tex]
Veja o gráfico que juntei em anexo, para auxiliar no entendimento.
