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(FUVEST-2010) Seja n um número inteiro, n 0. a) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Luís e Antônio. b) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Pedro, Luís e Antônio. c) Considere, agora, um número natural k tal que 0 k n.Supondo que cada uma das distribuições do item b) tenha a mesma chance de ocorrer, determine a probabilidade de que, após uma dada distribuição, Pedro receba uma quantidade de bolas maior ou igual a k. Observação: Nos itens a) e b), consideram-se válidas as distribuições nas quais uma ou mais pessoas não recebam bola alguma.
(a) As maneiras possíveis de distribuição das bolas formam o seguinte conjunto de pares:
[tex]S=\{(0,n),(1,n-1),...,(n-1,1),(n,0)\},[/tex]
onde [tex](a,b)[/tex] é tal que [tex]a[/tex] é o n.º de bolas de Luís e [tex]b[/tex] é o n.º de bolas de Antônio.
[tex]S[/tex] , portanto, tem [tex]n+1[/tex] elementos.
Resposta: [tex]n+1[/tex]
(b) As maneiras possíveis de distribuição das bolas formam os seguintes conjuntos de ternas:
[tex]S_0=\{(0,0,n),(0,1,n-1),...,(0,n,0)\},[/tex]
[tex]S_1=\{(1,0,n-1),(1,1,n-2),...,(1,n-1,0)\}[/tex]
[tex]\vdots[/tex]
[tex]S_{n-2}=\{(n-2,0,2),(n-2,1,1),(n-2,2,0)\}[/tex]
[tex]S_{n-1}=\{(n-1,0,1),(n-1,1,0)\}[/tex]
[tex]S_n=\{(n,0,0)\}[/tex]
onde [tex](a,b,c)[/tex] é tal que [tex]a[/tex] é o n.º de bolas de Pedro, [tex]b[/tex] é o n.º de bolas de Luís e [tex]c[/tex] é o n.º de bolas de Antônio.
[tex]S_n[/tex] tem 1 elemento.
[tex]S_{n-1}[/tex] tem 2 elementos.
[tex]S_{n-2}[/tex] tem 3 elementos.
[tex]\vdots[/tex]
[tex]S_{1}[/tex] tem [tex]n[/tex] elementos.
[tex]S_{0}[/tex] tem [tex]n+1[/tex] elementos.
O total de maneiras possíveis de distribuição das bolas é, portanto:
[tex]=1 + 2 + 3 + ... + n + (n+1)[/tex]
Esta soma é uma PA de [tex]n[/tex] termos, razão 1 e último termo [tex]n+1[/tex].
O valor dessa soma é:
[tex]=\frac{(n+1).(1+n+1)}2=\frac{(n+1).(n+2)}2[/tex]
Resposta: [tex]\frac{(n+1).(n+2)}2[/tex]
(c) N.º de maneiras possíveis de distribuição de uma certa quantidade de bolas maior que [tex]k[/tex] tal que [tex]0 \leq k \leq n[/tex]:
[tex]=\underbrace{1 + ... + (n-k+1)}_{outra\ PA} = \underbrace{\frac{(n-k+1)(1+n-k+1)}2}_{f\'ormula\ da\ soma\ de\ PA}= [/tex]
[tex]\frac{(n-k+1)(n-k+2)}2[/tex]
O n.º total de maneiras possíveis de distribuição das bolas já foi calculado na letra (b).
Portanto a probabilidade procurada é o quociente entre o n.º de maneiras maior que [tex]k[/tex] e o n.º total de maneiras possíveis:
[tex]=\frac{(n-k+1)(n-k+2)}2 : \frac{(n+1)(n+2)}2 = \frac{(n-k+1)(n-k+2)}{(n+1)(n+2)}[/tex] (resposta)