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Sagot :
O cálculo das funções trigonométricas do arco metade será feito considerando a fórmula do cosseno do arco duplo (cos 2β = cos2 β – sen2 β) e a relação fundamental da trigonometria (sen2 β + cos2 β = 1).
Para encontrar as fórmulas das funções trigonométricas (cos, sen e tg) do arco metade, iremos considerar um arco qualquer x e o seu arco metade sendo x/2.
• Cos (x/2).
Sabendo que cos 2 β = cos2 β – sen2 β, substituindo sen2 β por sen2 β = 1 - cos2 β, teremos:
cos 2 β = cos2 β – 1 - cos2 β = 2cos2 β - 1, substituindo 2β por x e β por x/2, teremos:
Cos x =2cos2 (x/2) – 1
Isolando cos2 (x/2), teremos:
cos2 (x/2) = cos x + 1
2
Portando, o cosseno do arco metade será calculado através da seguinte fórmula:
• Sen x/2
Sabendo que cos 2β = cos2 β – sen2 β, substituindo cos2 β por cos2 β = 1 - sen2 β, teremos:
cos 2 β = 1 - sen2 β - sen2 β = 1- 2sen2 β, substituindo 2β por x e β por x/2, teremos:
Cos x = 1- 2 sen2 (x/2)
Isolando sen2 (x/2), teremos:
sen2 (x/2) = 1 - cos x
2
Portando, o seno do arco metade será calculado através da seguinte fórmula:
• Tg (x/2)
Sabendo que tg β = sen β. Podemos dizer que:
cos β
Tg (x/2) = sen (x/2).
cos (x/2)
Portando, a tangente do arco metade será calculada pela seguinte fórmula:
Para encontrar as fórmulas das funções trigonométricas (cos, sen e tg) do arco metade, iremos considerar um arco qualquer x e o seu arco metade sendo x/2.
• Cos (x/2).
Sabendo que cos 2 β = cos2 β – sen2 β, substituindo sen2 β por sen2 β = 1 - cos2 β, teremos:
cos 2 β = cos2 β – 1 - cos2 β = 2cos2 β - 1, substituindo 2β por x e β por x/2, teremos:
Cos x =2cos2 (x/2) – 1
Isolando cos2 (x/2), teremos:
cos2 (x/2) = cos x + 1
2
Portando, o cosseno do arco metade será calculado através da seguinte fórmula:
• Sen x/2
Sabendo que cos 2β = cos2 β – sen2 β, substituindo cos2 β por cos2 β = 1 - sen2 β, teremos:
cos 2 β = 1 - sen2 β - sen2 β = 1- 2sen2 β, substituindo 2β por x e β por x/2, teremos:
Cos x = 1- 2 sen2 (x/2)
Isolando sen2 (x/2), teremos:
sen2 (x/2) = 1 - cos x
2
Portando, o seno do arco metade será calculado através da seguinte fórmula:
• Tg (x/2)
Sabendo que tg β = sen β. Podemos dizer que:
cos β
Tg (x/2) = sen (x/2).
cos (x/2)
Portando, a tangente do arco metade será calculada pela seguinte fórmula:
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