Vou fazer com a primeira equação então basta usar o mesmo raciocínio para resolver as demais.
a) [tex]f(x)=x^2+8x+9[/tex]
Estas são equações do segundo grau, que tem a forma:
[tex]f(x)=a.x^2+b.x+c[/tex]
Onde [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são os coeficientes dos termos [tex]x^2[/tex], [tex]x^1=x[/tex] e [tex]x^0=1[/tex] respectivamente.
Então podemos ver que para [tex]f(x)=x^2+8x+9[/tex], temos:
[tex]a=1[/tex]
[tex]b=8[/tex]
[tex]c=9[/tex]
Sabemos que para encontrar as coordenadas do vértice [tex]V=(X_v, Y_v)=(-\frac{b}{2.a}, -\frac{\Delta}{4.a})[/tex] devemos usar as fórmulas dadas. Onde:
[tex]\Delta=b^2-4.a.c[/tex]
Substituindo os valores, teremos:
[tex]\Delta=8^2-4.1.9[/tex]
[tex]\Delta=64-36[/tex]
[tex]\Delta=28[/tex]
[tex]V=(X_v, Y_v)=(-\frac{b}{2.a}, -\frac{\Delta}{4.a})[/tex]
[tex]V=(X_v, Y_v)=(-\frac{8}{2.1}, -\frac{28}{4.1})[/tex]
[tex]V=(X_v, Y_v)=(-\frac{8}{2}, -\frac{28}{4})[/tex]
[tex]V=(X_v, Y_v)=(-4, -7)[/tex]
Para encontrar os pontos de intersecção com o eixo x devemos fazer:
[tex]f(x)=y=0[/tex]
Pois são os pontos em que o eixo x passa pelo [tex]y=0[/tex]. Restando resolver pela fórmula de Báskara a equação do segundo grau abaixo:
[tex]0=a.x^2+b.x+c[/tex]
[tex]a.x^2+b.x+c=0[/tex]
[tex]1.x^2+8.x+9=0[/tex]
[tex]x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
[tex]x=\frac{-8\pm\sqrt{28}}{2.1}[/tex]
[tex]x=\frac{-8\pm\sqrt{2.2.7}}{2}[/tex]
[tex]x=\frac{-8\pm\sqrt{2^2.7}}{2}[/tex]
[tex]x=\frac{-8\pm 2\sqrt{7}}{2}[/tex]
[tex]x=\frac{2(-4\pm\sqrt{7})}{2}[/tex]
[tex]x_1=-4+\sqrt{7}[/tex]
[tex]x_2=-4-\sqrt{7}[/tex]
Assim, os pontos serão [tex]P_1=(x_1, 0)=(-4+\sqrt{7}, 0)[/tex] e [tex]P_2=(x_2, 0)=(-4-\sqrt{7}, 0)[/tex]
Para saber se o vértice ([tex]V[/tex]) é um ponto de máximo ou mínimo basta verificar o valor de [tex]a=1[/tex] (coeficiente do [tex]x^2[/tex]), assim:
Se [tex]a>0[/tex], então o vértice ([tex]V[/tex]) é ponto de mínimo pois a parábola (gráfico da função do segundo grau) está com a abertura para cima. Este é o caso desta equação, pois [tex]a=1>0[/tex].
Se [tex]a<0[/tex], então o vértice ([tex]V[/tex]) é ponto de máximo pois a parábola está com a abertura para baixo.
