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 Resolva ,em IR,a equação: [tex]x^2+x^2/2+x^2/4+.....=1/3

Sagot :

Niiyaidn
[tex]x^{2} + (x^{2}/2) + (x^{2}/4) + ... = 1 / 3[/tex]

[tex]a_{1} = x^{2}[/tex]
[tex]a_{2} = x^{2}/2[/tex]
[tex]a_{3}=x^{2}/4[/tex]

[tex]q = a_{2}/a_{1}[/tex]
[tex]q=a_{3}/a_{2}[/tex]
[tex]a_{2}/a_{1}=a_{3}/a_{2}[/tex]
[tex](x^{2}/2)/x^{2} = (x^{2}/4)/(x^{2}/2)[/tex]
[tex](x^{2}/2)*(1/x^{2})=(x^{2}/4)*(2/x^{2})[/tex]
[tex]1/2=2/4[/tex]
[tex]1/2=1/2[/tex]

Como pode ver, a razão é constante, logo essa progressão é uma progressão geométrica de razão 1 / 2

0 < q < 1 => Soma infinita

[tex]Sn = a_{1} / (1 - q)[/tex]
[tex]a_{1}/(1 - q) = 1 / 3[/tex]
[tex]x^{2} / (1 - [1/2]) = 1 / 3[/tex]
[tex]x^{2}/([2/2]-[1/2])=1/3[/tex]
[tex]x^{2}/([2-1]/2)=1/3[/tex]
[tex]x^{2}/(1/2)=1/3[/tex]

Passando 1 / 2 pro outro lado, vai multiplicando:

[tex]x^{2}=(1/3)*(1/2)[/tex]
[tex]x^{2}=1/6[/tex]
[tex]x=+-\sqrt{1/6} [/tex]
[tex]x=+-1/ \sqrt{6} [/tex]

Racionalizando:

[tex]x=+- \sqrt{6} /6[/tex]
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