Olá, Dominique.
Vamos, primeiramente, fatorar o número 540:
[tex]540|2\\ 270|2\\ 135|3\\ 45|3\\ 15|3\\ 5|5\\ 1\\\\ \Rightarrow 540=2^2 \cdot 3^3 \cdot 5[/tex]
Para que [tex]\sqrt{\frac{540}{n}}[/tex] seja o maior inteiro possível, o valor de [tex]n[/tex] deve ser tal que
[tex]\frac{540}n[/tex] seja o maior quadrado perfeito possível.
Assim, o valor de [tex]n[/tex] deve ser um número natural tal que, após o inserirmos no denominador da fração e efetuarmos os cancelamentos dos fatores iguais, sobre o maior quadrado perfeito possível.
O maior quadrado perfeito possível contido na fatoração de 540 é [tex]2^2 \cdot 3^2[/tex].
Portanto, devemos ter:
[tex]n=3 \cdot 5 \Rightarrow \boxed{n=15}[/tex]
Assim:
[tex]\sqrt{\frac{540}{n}}=\sqrt{\frac{2^2 \cdot 3^3 \cdot 5}{3\cdot 5}}=\sqrt{2^2\cdot3^2}=2\cdot 3=6[/tex]
6 é, portanto, o maior número inteiro possível que [tex]\sqrt{\frac{540}{n}}[/tex] pode ser.
Resposta: [tex]\boxed{n=15}[/tex]
