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Olá, siga a explicação abaixo:
Como estamos remetendo com variáveis de sinais opostos e elevados a termos é possível definir a cônica como hipérbole!
Veja;
[tex]5x ^{2} - 4x^{2} + 30x + 16y + 49 = 0 \\ Se \: mantem: \\ 5x ^{2} + 30x + 45 - 4y ^{2} + 16y - 16 = - 49 + 45 - 16 \\ 5(x - 3) ^{2} - 4(y - 2) ^{2} = - 20 \\ \frac{(y - 2) ^{2} }{5} - \frac{(x + 3) ^{2} }{4} = 1 \\ Logo: \\ x _{0} = - 3, y _{0} = - 2 [/tex]
Para estipular os focos da hipérbole:
[tex]f = \sqrt{a ^{2} + b ^{2} } \\f = \sqrt{a ^{2} - b ^{2} } \\ Sendo: \\ foco = (- 3,5) \\foco = (- 3, - 1) [/tex]
E a excentricidade:
[tex] \frac{ \sqrt{a ^{2} + b ^{2} } }{a} \\ \frac{3 \sqrt{5} }{5} \\ \: Ou: \\ 1.34164078…[/tex]