Explicação passo-a-passo:
[tex]1-[/tex] [tex]log_{3}\frac{1}{27}=x[/tex]
Aplicando a propriedade dos logaritmos: [tex]log_{a}(\frac{1}{x})=-log_{a}(x)[/tex], fica
[tex]x=log_{3}(\frac{1}{27})[/tex] → [tex]x=-log_{3}(27)[/tex]
Fatorando o 27 = 3³
[tex]x=-log_{3}(27)[/tex] → [tex]x=-log_{3}(3^{3})[/tex]
Aplicando a propriedade dos logaritmos: [tex]log_{a}(x^{b})=b.log_{a}(x)[/tex], fica
[tex]x=-log_{3}(3^{3})[/tex] → [tex]x=-3log_{3}(3)[/tex]
Aplicando a propriedade dos logaritmos: [tex]log_{a}(a)=1[/tex], fica
[tex]x=-3log_{3}(3)[/tex] → [tex]x=-3.1[/tex] → [tex]x=-3[/tex]
Resposta: x = -3
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[tex]2-[/tex] [tex]A=log_{2}(1024)+log_{\frac{1}{5}}(625)[/tex]
Vamos resolver separadamente
[tex]log_{2}(1024)[/tex]
Fatorando o 1024 = 2¹⁰, fica
[tex]log_{2}(1024)[/tex] → [tex]log_{2}(2^{10})[/tex]
Aplicando a propriedade dos logaritmos: [tex]log_{a}(x^{b})=b.log_{a}(x)[/tex], fica
[tex]log_{2}(2^{10})[/tex] → [tex]10.log_{2}(2)[/tex]
Aplicando a propriedade dos logaritmos: [tex]log_{a}(a)=1[/tex], fica
[tex]10.log_{2}(2)[/tex] = [tex]10.1[/tex] = [tex]10[/tex]
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[tex]log_{\frac{1}{5}}(625)[/tex]
Aplicando a propriedade dos logaritmos: [tex]log_{\frac{1}{a}}(x)=-log_{a}(x)[/tex], fica
[tex]log_{\frac{1}{5}}(625)[/tex] → [tex]-log_{5}(625)[/tex]
Fatorando o 625 = 5⁴, fica
[tex]-log_{5}(625)[/tex] → [tex]-log_{5}(5^{4})[/tex]
Aplicando a propriedade dos logaritmos: [tex]log_{a}(x^{b})=b.log_{a}(x)[/tex], fica
[tex]-log_{5}(5^{4})[/tex] → [tex]4.(-log_{5}(5))[/tex]
Aplicando a propriedade dos logaritmos: [tex]log_{a}(a)=1[/tex], fica
[tex]4.(-log_{5}(5))[/tex] = [tex]4.(-1)=-4[/tex]
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Agora substituindo na expressão, fica
[tex]A=log_{2}(1024)+log_{\frac{1}{5}}(625)[/tex]
[tex]A=10+(-4)[/tex]
[tex]A=10-4[/tex]
[tex]A=6[/tex]
Resposta: A = 6
