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Sagot :
Resposta (confira a explicação para as contas):
a) A equação para alcance máximo depende de diretamente de [tex]\sin (2\theta)[/tex], então para lançamentos com velocidade de mesma magnitude e submetidos a uma mesma gravidade, quanto maior for [tex]\sin(2\theta)[/tex] maior será o alcance. Fazendo as contas, o 2° lançamento possui o maior.
b) Pela mesma justificativa da letra a), e sabendo que o seno de 60° e o seno de 120° são iguais, o alcance do 1° e 3° lançamento foi igual uma vez feitas as contas.
c) A equação para altura máxima depende diretamente de [tex]\sin^2(\theta)[/tex] então para lançamentos com velocidade de mesma magnitude e submetidos a uma mesma gravidade, quanto maior for [tex]\sin^2(\theta)[/tex] maior será a altura máxima. Fazendo as contas para cada um dos lançamentos, concluímos que o ângulo que resulta na maior altura entre os demais é o de 60°, isto é, o 3° lançamento.
Explicação:
A equação do alcance de um projétil em lançamento oblíquo é dada por
[tex]A = v_{o_x} \cdot t_{total}[/tex]
Onde [tex]t_{total}[/tex] é o tempo que leva para o projétil subir ([tex]t_1[/tex]) e descer [tex](t_2)[/tex]. Esse tempo é determinado em duas etapas:
1) Subida ([tex]t_1[/tex])
A velocidade no topo (altura máxima) é nula, então usamos a equação:
[tex]v_y = v_{0_{y}} - gt \Longrightarrow 0 = v_{0_{y}} - gt_1 \therefore t_1 = \frac{v_{0_{y}}}{g}[/tex]
2) Descida ([tex]t_2[/tex])
Pela simetria da parábola do lançamento em relação ao vértice (ponto máximo / altura máxima), o tempo de descida deve ser idêntico ao tempo de subida e, portanto, [tex]t_2 = t_1 = \frac{v_{0_{y}}}{g}[/tex]
Logo, [tex]t_{total} = t_1 + t_2 = \frac{v_{0_{y}}}{g} + \frac{v_{0_{y}}}{g} = \frac{2v_{0_{y}}}{g}[/tex]
Usando esse tempo na equação do alcance, temos:
[tex]A = v_{o_x} \cdot t_{total} = v_{o_x} \cdot \frac{2 v_0_y}{g} = \frac{2(v_0 \cos(\theta))(v_0 \sin(\theta))}{g} = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}[/tex]
Dessa forma, o alcance dos lançamentos depende diretamente do ângulo de lançamento [tex]\theta[/tex].
Nos três lançamentos mencionados, a 2° bola foi lançada mais distante porque o seu ângulo de lançamento foi 45°, e [tex]\sin (2 \cdot 45) = \sin (90) = 1[/tex] é o maior valor que a função seno pode assumir.
Utilizando os ângulos do 1° e 3° lançamento, o alcance será igual e ambos menores que o do 2° lançamento, isso porque
[tex]\sin (2 \cdot 30) = \sin(60) = \frac{\sqrt{3}}{2}\\\\\sin(2 \cdot 60) = \sin(120) = \frac{\sqrt{3}}{2}\\[/tex]
Como os senos são iguais, os alcances para uma mesma velocidade e gravidade também serão iguais.
Obs.: ambos são menores do que o alcance de lançamento de ângulo 45° porque o seno de 60° e o seno de 120° são menores do que o seno de 90°.
Isso já explica a resposta para as letras a) e b).
Para explicar a letra c) você deve aplicar Torricelli para avaliar qual equação que determina a altura máxima.
[tex]v_y^2 = v_0_y^2 - 2g\Delta y[/tex]
Como na altura máxima a velocidade é nula, então:
[tex]0 = v_0_y^2 - 2g\Delta y \Longrightarrow \Delta y = \frac{v_0_y^2}{2g} = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g}[/tex]
Para [tex]\theta[/tex] igual a 30°, 45° e 60°, [tex]\sin(\theta)[/tex] é igual a 0.5, 0.7 e 0.86, respectivamente, o que indica que a altura máxima foi atingida pelo lançamento de ângulo 60°, isto é, o terceiro.
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