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x^2-x(log[tex]Sejam\ a\ e\ b\ dois\ numeros\ reais\ positivos\ e\ diferentes\ de\ um.\\Qual\ a\ relacao\ entre\ a\ e\ b\ para\ que\ a\ equacao\\ x^{2}-x(log_{b}a)+2log_{a}b=0\\ tenha\ duas\ raizes\ reais\ e\ iguais[/tex]
Olá, Dudu.
Para que esta equação de segundo grau tenha duas raízes iguais devemos ter, na fórmula de Bhaskara, a seguinte condição:
[tex]\Delta=0 \Rightarrow (\log_ba)^2-8\log_ab=0 \Rightarrow (\log_ba)^2-\frac8{\log_ba}=0\\\\ \text{Fa\c{c}amos a seguinte mudan\c{c}a de vari\'avel: } \boxed{y=\log_ba} \Rightarrow\\\\ y^2-\frac8y=0\ \ (\times y) \Rightarrow y^3-8=0 \Rightarrow y^3=8 \Rightarrow \boxed{y=2}\\\\ \therefore \text{A condi\c{c}\~ao necess\'aria para que a equa\c{c}\~ao tenha duas solu\c{c}\~oes}\\ \text{iguais \'e que }\boxed{\log_ba=2}.[/tex]
[tex]\text{Portanto, a rela\c{c}\~ao entre }a\text{ e }b\text{ \'e: }\boxed{a=b^2}[/tex]
para ter duas raiz reais e igual delta tem que ser igual a zero
chmarei log de a na base b por loga e log de b na base a por logb
Delt=b²-4.a.c=0
(loga)²-4.1.2.logb=0
loga²=8.logb
2.loga=8logb
loga=4logb
mudança de base
loga=1/logb
1/logb=4.logb
(logb)²=1/4
logb=1/2
a^1/2=b
a=b²