O resultado do limite é
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lim_{x \to 7} \frac{1 }{\sqrt{x+2}+3 } \Rightarrow \frac{1 }{6 } \end{gathered}$}[/tex]
Desejamos calcular o seguinte limite
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x+2}-3 }{x-7} \end{gathered}$}[/tex]
Sabemos que ao substituir o x tende na função, ela será indeterminada.
Para remover tal indeterminação, iremos multiplicar a função pelo seu conjugado, dessa forma eliminando a indeterminação, logo
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x+2}-3 }{x-7} \Rightarrow \lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x+2}-3 }{x-7} \cdot \frac{\sqrt{x+2} +3}{\sqrt{x+2} +3} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lim_{x \to 7} \frac{(\sqrt{x+2}-3)(\sqrt{x+2}+3) }{(x-7)(\sqrt{x+2}+3) } \end{gathered}$}[/tex]
Perceba que temos aquela propriedade básica: ( a - b )( a + b ) = a² - b² , aplicando na sua questão, temos
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lim_{x \to 7} \frac{\cancel{(x-7)} }{\cancel{(x-7)}(\sqrt{x+2}+3) } \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lim_{x \to 7} \frac{1 }{\sqrt{x+2}+3 } \end{gathered}$}[/tex]
Feito isso, basta agora substituirmos o valor no qual x tende e assim encontrar o valor do limite.
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lim_{x \to 7} \frac{1 }{\sqrt{x+2}+3 } \Rightarrow \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{1 }{\sqrt{7+2}+3 } \end{gathered}$}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lim_{x \to 7} \frac{1 }{\sqrt{x+2}+3 } \Rightarrow \frac{1 }{\sqrt{9}+3 } \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lim_{x \to 7} \frac{1 }{\sqrt{x+2}+3 } \Rightarrow \frac{1 }{3+3 } \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \lim_{x \to 7} \frac{1 }{\sqrt{x+2}+3 } \Rightarrow \ \therefore\ \boxed{ \frac{1 }{6 } } \end{gathered}$}[/tex]
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