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Calcule a somar dos 70 primeiros termos de uma PA sabendo que a₁ = 22 e r = 25.​

Sagot :

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[tex] > \: resolucao \\ \\ \geqslant \: progressao \: \: aritmetica \\ \\ a1 = 22 \\ r = 25 \\ \\ > \: o \: 70 \: termo \: da \: pa \\ \\ an = a1 + (n - 1)r \\ an = 22 + (70 - 1)25 \\ an = 22 + 69 \times 25 \\ an = 22 + 1725 \\ an = 1747 \\ \\ \\ > \: a \: soma \: dos \: 70 \: termos \: da \: pa \\ \\ \\ sn = \frac{(a1 + an)n}{2} \\ \\ sn = \frac{(22 + 1747)70}{2} \\ \\ sn = \frac{1769 \times 70}{2} \\ \\ sn = 1769 \times 35 \\ \\ sn = 61915 \\ \\ \\ \geqslant \leqslant \geqslant \leqslant \geqslant \leqslant \geqslant \leqslant \geqslant \geqslant [/tex]

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Kin07idn

De acordo com os dados do enunciado e feito a resolução concluímos que a soma dos 70 primeiros termos de uma PA é [tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_{70} = 61\:915 } $ }[/tex].

Progressão aritmética ( PA ) é uma sequência de números na qual a diferença entre cada termo ( a partir do segundo) e o termo anterior é uma constante, chamada razão.

Exemplos:

( 2, 7, 12, 17, ...) é uma progressão aritmética de razão 5.

(2, 2, 2,2 ) é uma progressão aritmética de razão 0.

A representação de uma P.A é [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf (a_1, a_2, a_3, \dotsi a_n) }[/tex]. Todos os termos da P.A podem ser escritos em função do primeiro termo [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf a_1 }[/tex] e da razão por meio de uma relação.

[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_n = a_1 + (n-1) \cdot r } $ } }[/tex]

[tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf a_1 \to }[/tex] primeiro termo;

[tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf n \to }[/tex] número de termos;

[tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf r \to }[/tex] razão da PA;

[tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf a_n \to }[/tex] termo geral.

A soma de todos os termos da PA finita poderá ser calculada pela expressão:

[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_n = \dfrac{(a_1+a_n) \cdot n}{2} } $ } }[/tex]

Dados fornecidos pelo enunciado:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf n = 70 \\\sf a_1 = 22 \\\sf r = 25 \\\sf S_{70}= \:? \end{cases} } $ }[/tex]

Primeiramente devemos calcular o valor de  septuagésimo termos da PA.  Aplicando a definição do termo geral de uma PA.

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_n = a_1 +( n-1) \cdot r } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_{70} =22 +( 70-1) \cdot 25 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_{70} =22 +69 \cdot 25 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a_{70} =22 +1\:725 } $ }[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf a_{70} = 1\;747 }[/tex]

Agora que temos valor [tex]\boldsymbol{ \textstyle \sf a_{70} }[/tex], basta substituir na fórmula da soma dos termos de uma PA finita.

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_{70} = \dfrac{(a_1+a_{70}) \cdot n}{2} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_{70} = \dfrac{(22 + 1\;747) \cdot 70}{2} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_{70} = 1\:769 \cdot 35 } $ }[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf S_{70} = 61\:915 }[/tex]

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