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a) A função desta área é A(x) = -x² + 76x; b) A maior área possível será de 1.444 [m²].
Para realizar este exercício vamos procurar pelo vértice da parábola.
Para encontrarmos a área de um retângulo na geometria plana realizamos o produto de suas duas dimensões: largura X altura. Neste caso portanto teremos a seguinte área:
A = (76 - x) * x
A = 76x - x²
Observe que esta é uma função de segundo grau incompleta (faltando o coeficiente c) de forma que a área é uma função de x:
Sabemos portanto que:
Sendo uma função quadrática temos que sua forma geométrica será de uma parábola, ou seja, possuindo um ponto de máximo ou de mínimo. Como o coeficiente a < 0 então a concavidade desta parábola é para baixo e portanto a parábola tem um ponto de máximo. Encontramos as coordenadas deste ponto (chamado vértice) através da relação:
Para o nosso caso, portanto, teremos que o maior valor de y será:
y = -(76²) / 4*(-1)
y = -5.776 / (-4)
y = 5.776 / 4
y = 1.444 [m²]
Como este é um problema de otimização de áreas então sabemos que a maior área para um retângulo será quando ele for um quadrado, ou seja, √1.444 = 38 [m] é justamente o valor de um dos quatro lados de um quadrado com 152 [m] de perímetro.
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