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Para encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) e o máximo divisor comum (MDC) dos números 50, 120, 80, 210, 35, 45 e 75, seguimos os passos abaixo:
### Passo 1: Fatoração de cada número
1. **50**: \( 2 \times 5^2 \)
2. **120**: \( 2^3 \times 3 \times 5 \)
3. **80**: \( 2^4 \times 5 \)
4. **210**: \( 2 \times 3 \times 5 \times 7 \)
5. **35**: \( 5 \times 7 \)
6. **45**: \( 3^2 \times 5 \)
7. **75**: \( 3 \times 5^2 \)
### Passo 2: Determinação do MMC
Para encontrar o MMC, tomamos o maior expoente de cada fator primo presente na fatoração dos números:
- Fator 2: maior expoente é 4 (de 80)
- Fator 3: maior expoente é 2 (de 45)
- Fator 5: maior expoente é 2 (de 50 e 75)
- Fator 7: maior expoente é 1 (de 210 e 35)
Assim, o MMC é:
\[ \text{MMC} = 2^4 \times 3^2 \times 5^2 \times 7 \]
### Passo 3: Cálculo do MMC
\[ \text{MMC} = 16 \times 9 \times 25 \times 7 \]
\[ \text{MMC} = 16 \times 9 = 144 \]
\[ \text{MMC} = 144 \times 25 = 3600 \]
\[ \text{MMC} = 3600 \times 7 = 25200 \]
Portanto, o MMC de 50, 120, 80, 210, 35, 45 e 75 é **25.200**.
### Passo 4: Determinação do MDC
Para o MDC, tomamos o menor expoente de cada fator primo comum a todos os números. Nesse caso, verificamos os fatores que todos os números compartilham.
- Fator 2: presente apenas em 50, 120, 80, e 210, então não é comum a todos.
- Fator 3: presente em 120, 210, 45, e 75, então não é comum a todos.
- Fator 5: presente em 50, 120, 80, 210, 35, 45, e 75.
Como o único fator comum a todos os números é 5, e todos eles têm pelo menos \(5^1\):
Portanto, o MDC de 50, 120, 80, 210, 35, 45 e 75 é **5**.